CHAPITRE II. — THÉORIE GÉNÉRALE

parallèle à ces deux droites ou au plan tangent du cône directeur de la surface gauche» le long de la génératrice parallèle à G. Le plan P est encore parallèle au plan qui passe par la génératrice G et qui est tangent au paraboloide (ou à la surface avec laquelle il se raccorde), au point de cette droite situé à l'infini (art. 592). On voit ainsi que les plans tangents du cône directeur sont respectivement parallèles aux plans passant par les différentes génératrices de la surface gauche et tangents à V infini.

616. Il résulte de ce qui précède qu'une surface gauche a le long d'une génératrice quelconque une infinité de paraboloïdes de raccordement. Un de leurs plans directeurs est le plan tangent du cône directeur le long de la génératrice parallèle ; l'autre est parallèle aux plans sécants, et par suite complètement arbitraire. On peut le prendre perpendiculaire au premier dans une infinité de positions, et en conséquence la surface admet, le long de chaque génératrice, une infinité de paraboloïdes isoscèles de raccordement.

617. Si un plan contient une génératrice, sa courbe d'intersection avec la surface rencontrera cette droite, car elle a un point sur chacune des autres génératrices, si rapprochées qu'elles soient de celle qui est dans le plan. Au point de rencontre, le plan contiendra la tangente de l'intersection et la génératrice; il sera donc tangent.

La considération des paraboloïdes de raccordement conduit à un résultat analogue et montre de plus comment le point de contact se déplace quand le plan tourne autour de la génératrice (art. 592).

En résumé, tout plan contenant une génératrice d'une surface gauche est tari" gent en un point; la courbe suivant laquelle il coupe la surface passe par le point de contact; s'il fait une rotation de 1800 autour de la génératrice, le point de contact parcourra la longueur indéfinie de cette droite. Dans aucune positiony le plan n'est tangent en deux points.

La courbe de contact d'un cône circonscrit avec une surface gauche est le lieu des points de tangence des plans qui passent par le sommet donné et par les différentes génératrices; cette courbe a par conséquent un point sur chacune de ces droites.

618. Si une surface gauche est algébrique et de Tordre n, sa section par un plan contenant une génératrice rencontrera cette droite en (n— i) points réels ou imaginaires; l'un d'eux est celui où le contact a lieu : il est mobile quand le plan tourne; les autres sont des points doubles de la surface, car, s'ils étaient simples, chacun d'eux serait un point de contact et le plan toucherait la surface en plus d'un point de la génératrice. On voit ainsi qu'une surface gauche de Tordre n a sur chaque génératrice (n — 2) points doubles, ou plutôt des points multiples représentant (n — 2) points doubles.

619. Les paraboloïdes de raccordement deviennent normaux quand on les fait

l44 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

tourner de 900 autour de la génératrice. Une surface gauche admet donc une infinité de paraboloïdes normaux le long de chaque génératrice : un de leurs plans directeurs est le plan normal du cône directeur le long de la génératrice parallèle f Vautre peut être pris arbitrairement.

On peut considérer un paraboloïde normal comme engendré par une droite qui se meut de manière à rencontrer la génératrice considérée G de la surface gauche, à être parallèle à un plan arbitraire Q et a se trouver successivement dans les différents plans passant par G cl normaux a la surface. Ces plans étaient tangents avant la rotation.

Il y a une infinité de paraboloïdes normaux isoscèles.

620. Nous aurons souvent à considérer le paraboloïde normal pour lequel le plan directeur Q est perpendiculaire à la génératrice G : chaque génératrice de ce paraboloïde est l'intersection de deux plans normaux à la surface, l'un parallèle a Q, l'autre contenant G; elle est donc normale. De là ce théorème : Les normales à une surface gauche aux différents points (Tune génératrice forment un paraboloïde. Nous l'appellerons paraboloïde des normales; il est évidemment isoscèle.

Point central d'une génératrice. Ligne de striction. Paramètre de distribution des plans tangents.

621 . On appelle point central d'une génératrice le pied de la commune perpendiculaire à cette droite et à la génératrice voisine, ou la limite des positions du pied de la commune perpendiculaire à la droite considérée et à une autre génératrice, lorsque celle-ci, se rapprochant de la première, vient se confondre avec elle. Le lieu des points centraux des génératrices est la ligne de striction de la surface (f).

Soient G et G' deux génératrices d'une surface gauche, AB leur plus courte distance, et A g' une droite parallèle à G'ifig. 284).

Si nous concevons que des différents points de G' on abaisse des perpendiculaires sur G, ces droites formeront un paraboloïde dont les plans directeurs seront l'un Q perpendiculaire a G, l'autre P parallèle à G et à G'. On peut prendre pour ce dernier le plan des droites G et g1.

Les diamètres du paraboloïde qui passent par les différents points a, a,, a2f ... de G sont les droites an, aKns, . . ., intersections du plan P avec des plans parallèles à Q (art. 594). Toutes ces droites sont perpendiculaires à G, et celle qui passe par le point À est de plus perpendiculaire à la génératrice AB du second système, car cette ligne, par sa définition, est perpendiculaire à P. Le dia-

(' ) Les expressions de point centrai et de ligne de striction sont de M. Chasles; celle de pUm central que nous employons plus loin est de M. Bour.