THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES GAUCHES

Raccordement des surfaces gauches. Paraboloïdes de raccordement.

Paraboloïdes normaux.

613. On dit que deux surfaces se raccordent le long d'une courbe commune lorsqu'elles ont les mêmes plans tangents en tous les points de cette ligne. Une surface qui se raccorde avec une autre peut être considérée comme lui étant inscrite ou circonscrite.

l(\2 LIVRE VI. — SURFACES. GAUCHES.

Deux surfaces gauches qui ont les mêmes plans tangents en trois points my n et p d'une génératrice commune G se raccordent le long de cette droite.

Si nous coupons les surfaces par Irois plans passant respectivement par les points m, n et p {fig. 278), noujs aurons trois couples de courbes tangentes A et A', B et B', C et C que nous ppurrons considérer comme des directrices. Si la génératrice se meut en glissant sur les courbes A, B et C de la première surface, elle s'éloignera progressivement des lignes A', B' et C; mais, dans sa position infiniment voisine de G, on devra la considérer comme les rencontrant encore, parce qu'elles sont respectivement tangentes aux premières. Les deux surfaces ont donc deux génératrices consécutives communes, et leurs sections par un plan quelconque ayant en commun deux points situés sur ces droites ont la même tangente, ce qui démon Ire la proposition énoncée.

614. Deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice commune G lorsqu'elles ont les mêmes plans tangents en deux points m et n de cette ligne, et que leurs cônes directeurs C et C ont ^des plans tangents parallèles le long des génératrices correspondantes g et g.

On peut considérer les surfaces comme déterminées par des couples de directrices A et B pour l'une, A' et B' pour l'autre, respectivement tangentes aux points m et n {fig. 289), et par des cônes directeurs tangents le long d'une droite g, parallèle à G. Lorsque la génératrice se meut sur la première surface, en glissant sur les courbes A et B, elle s'éloigne progressivement de la seconde, mais elle lui appartient encore dans sa position infiniment voisine de G, parce qu'elle rencontre les lignes A' et B' qui sont respectivement tangentes à A et à B, et qu'elle est parallèle à une génératrice du cône C qui, étant infiniment rapprochée de g, se trouve sur le second cône. Nous sommes donc conduit aux mêmes conséquences qu'à l'article précédent.

Quand les surlaces considérées ont un même cône directeur ou un même plan directeur, il suffit, pour qu'elles se raccordent le long d'une génératrice commune, qu'elles aient les mêmes plans tangents en deux points de cette droite.

615. Si l'on coupe une surface gauche par une série de plans parallèles à un plan donné Q, les tangentes de toutes les sections aux points situés sur une même génératrice formeront un paraboloïde.

La surface gauche dont trois de ces tangentes mR, /iS et^T (fig. s83) sont les directrices est un paraboloïde (art. 610) qui a les mêmes plans tangents que la surface aux points m, n etp, et qui par conséquent se raccorde avec elle le long de la génératrice G. Tout plan parallèle à Q coupera ce paraboloïde suivant une droite tangente à la section correspondante de la surface, ce qui démontre le théorème énoncé.

Le paraboloïde a en commun avec la surface la génératrice G et une autre génératrice infiniment voisine; le second plan directeur P du paraboloïde est