Appelons

0 l'angle des plans BAX et baX tangents au paraboloide aux points A et a;

a l'angle des génératrices G et G' qui est égal à eAX;

x l'abscisse ka d'un point considéré a;

p la longueur de la commune perpendiculaire AB.

Les triangles abe eteaA rectangles l'un en e9 l'autre en a, donnent

, ne :r langer

tùuseba = — r= s*—.

° eo p

Lesdroites AB et eb étant parallèles, l'angle eba estégal a celui deslignes AB ctab, et par suite à 0, car les droites AB et ab sont respectivement situées dans les plans tangents considérés et perpendiculairesà leur intersection AX. Nous avons donc

tango = --•

Supposons maintenant que G' se rapproche de G, et appelons k la limite du rapport p ; nous aurons («) langô = f.

Nous appellerons plan central celui qui passe par la génératrice considérée et par la commune perpendiculaire à cette droite et a la génératrice voisine, et obliquité à9 un plan tangent l'angle 0 compris entre ce plan et le plan central de la génératrice du point de contact.

L'équation (1) montre que la tangente de l'obliquité d'un plan tangent en un point d'une génératrice est proportionnelle à l'abscisse de ce point, mesurée à partir du point central (*).

En faisant x nul, on reconnaît que le plan central est tangent au point central; cela résulte d'ailleurs de la définition de ce plan.

(') M. Chasles : Mémoire sur les surfaces engendrées par une ligne droite, p. 5J (Corrcsponda mathématique et physique, t. XI).

l46 LIVRE VII, — SURFACES GAUCHES.

La formule montre encore que les plans tangents en deux points d'une génératrice situés départ et d'autre du point central et à égales distances ont des obliquités égales et de sens opposé, et que le plan central et le plan tangent à V infini sont rectangulaires.

623. Nous avons désigné par k la limite du rapport p ; par suite, si Ton regarde p et a comme représentant la distance de la génératrice considérée a celle qui lui est infiniment voisine et l'angle de ces deux droites, on aura simplement

Le rapport des grandeurs infiniment petites/? et c est une longueur finie que nous appellerons paramétre de distribution des plans tangents aux divers points de la génératrice, ou plus simplement paramètre de la génératrice.

L'équation (i) montre que Ton peut définir le paramètre d'une génératrice la distance du point central au point où l'obliquité du plan tangent est de 45°.

Nous considérerons toujours le paramètre k comme positif quand, en plaçant l'œil en un point de la génératrice et en regardant dans la direction de cette droite d'un côté ou de l'autre, on verra le plan tangent tourner dans le même sens que les aiguilles d'une montre que l'on aurait devant soi, lorsque le point de contact s'éloignera du côté où l'on regarde.

624. En appelant x' et 0' l'abscisse d'un second point de la génératrice et l'obliquité du plan qui est tangent en ce point à la surface, on a

tango tango' ~^«

Les deux plans seront à angle droit lorsque le produit des tangentes des angles 6 et 6' sera égal à l'unité négative. Nous voyons alors que, quand deux plans contenant une même génératrice sont rectangulaires, leurs points de contact se trouvent situés de part et d'autre du point central et à des distances de ce point dont la moyenne géométrique est égale au paramètre de la génératrice.

Le premier plan étant normal au point où le second est tangent, on peut énoncer ce théorème en disant que, lorsqu'un plan contient une génératrice d'une surface gauche, le produit des distances au point central des deux points où il est tangent et normal est constant et égal au carré duparamètre (*).

625. Nous allons maintenant considérer deux surfaces gauches ayant une génératrice commune XY (fig. 292). Nous appelons

k et k1 les paramètres de cette droite dans les deux surfaces;

( ') M. Chasles : Journal de M. Lhut'ille, t. 11, p. 4i3.