CHAPITRE II. — THÉORIE GÉNÉRALE. \t

a la distance des points centraux A et A' ;

x l'abscisse AM d'un point considéré M :

6 et 0' les obliquités des plans tangents des deux surfaces en M;

rj l'angle que forme le plan central de la deuxième surface avec celui de la première ;

£ l'angle du plan tangent de la deuxième surface en M avec celui de la première au même point.

Le plan de la figure est le plan central de la première surface. Nous supposons -qu'un second plan perpendiculaire à la génératrice XY est rabattu sur celui-là par une rotation autour de sa trace MZ, de manière que sa partie antérieure se trouve amenée à la droite de MZ. Les lignes M/i, M/i' et Me' sont les traces, sur ce nouveau plan, des plans tangents en M et du plan central de la deuxième surface.

D'après la convention que nous avons faite a l'article 623, les paramètres k et k' sont positifs pour les surfaces auxquelles se rapporte la fig. 292, et, les abscisses étant mesurées positivement de A vers Y, l'équation (1) donne des valeurs positives pour 0 et Q'. Les angles s et yj sont positifs, car, d'après leur définition et les dispositions de la figure, le sens dans lequel on doit les mesurer est le même que celui des angles positifs 6 et 6'.

Nous avons

tango ^y

tango' - ^^>

d'où

//v r\ [k—k')x — ak

Ordonnant par rapport à x2 et observant que la différence (6' --- 0) est égale à (6 — y}), on a

a?2tang(e — yj) — x[k — k' 4-atang(e — >?)] -+- [ak 4- M'tang(e — tq)] = 0.

L'équation est du second degré; par conséquent, il existe deux points où l'angle s des surfaces a une valeur donnée. Ces points d'ailleurs peuvent se confondre ou devenir imaginaires.

Si l'angle t a une même valeur en trois points différents, l'équation doit être satisfaite quelle que soit l'abscisse x, et Ton a

vj = €, k = k\ a = o;

par conséquent, quand deux surfaces gauches se coupent sous un même angle en plus de deux points d'une génératrice commune, l'angle quelles comprennent aux

l48 LIVRE VU. — SURFACES GAUCHES.

différents points de cette droite est constant, et la génératrice a un même paramétre et un même point central, quand on la considère comme appartenant à l'une ou à l'autre de ces surfaces.

- 626. On peut résoudre par des constructions et des considérations géométriques Ires-simples les questions relatives aux angles compris entre deux surfaces gauches qui ont une génératrice commune.

A chaque point central A et A' (Jig. 268) élevons à la génératrice GXf et dans un jïiême plan, deux perpendiculaires AIï, A'E' respectivement égales aux paramètres k et k'f et joignons les points E et E' à un point quelconque M de GX : les angles AEM, A'E'M sont les valeurs de 6 et de 0' pour le point M, et par conséquent leur différence EME' est (é — ri). D'après cela, lorsque l'angle tq sera connu, si Ton veut déterminer le point où les surfaces comprennent un angle d'une grandeur donnée £, on décrira sur EE' un segment capable de l'angle (s — y); les points cherchés seront ses intersections avec la génératrice : on en trouvera généralement deux, M et M,.

Si l'angle (s — yj) était négatif, on tracerait le segment capable de l'autre côté de la corde EE', et l'on obtiendrait deux points m et mK tels que la direction des segments N/rcel N/ra, serait celle des abscisses négatives.

Si du point N nous menons une tangente à l'un des cercles, sa longueur N y sera moyenne proportionnelle entre les segments NE et NE'. En portant cette longueur sur NX, on aura un point P tel, que le cercle qui passerait par les points E, E' et P toucherait NX en ce dernier point. L'angle EPE' est évidemment la plus grande valeur de (e — y?). L'angle E/>E', obtenu en portant la longueur Ny sur NG', est le maximum absolu des valeurs négatives de (e — >j).

On voit d'après cela que les surfaces se couperont en deux points sous un angle donné s, si (s - r\) est positif et plus petit que EPE', ou négatif et d'une grandeur absolue plus petite que E/?E'.

Au point N l'angle (e — vj) est nul, et les surfaces comprennent un angle égal à celui que font les plans centraux ou les plans tangents au point commun situé a l'infini (l).

627. Quand les paramètres k et k' sont de signe différent, on doit les porter de côtés opposés de la génératrice GX {Jig. 369). La construction du reste est la même : un cercle qui passe par E et par E' détermine sur la génératrice deux points M et M, où les surfaces se coupent sous une même inclinaison. En ayant égard aux signes des angles, on trouve que la valeur de (û' — 6) est — EME' pour

( ' ) Les points M et M4 où les deux surfaces se coupent sous un même angle forment sur la génératrice deux divisions du genre de celles que M. Chasles a appelées divisions homographiques en involution (Géométrie supérieure, p. 121 et 167). P et p sont les points doubles ', et N le point centrai des divisions. Les points où deux plans contenant une génératrice d'une surface gauche, et perpendiculaires l'un à l'autre, touchent cette surface (art. 624) forment également deux divisions homographiques en involution.

CIJAPITRE II. — THÉORIE GÉNÉRALK. j^

le point M, et -f- E'M, E pour le point M4 : ces angles sont supplémentaires et de sens contraire; par suite, leur différence algébrique est de 1800, mais cette différence est égale à celle des deux valeurs de s en M et en M, ; les plans tangents en ces deux points ont donc une même position relative.

Quand les paramètres sont de signe contraire, quelle que soit la valeur de e, on trouve sur la génératrice 'deux points où les surfaces se coupent sous cet

628. Lorsque deux génératrices G et G' de deux surfaces gauches A et A' ont des paramètres égaux, on peut placer ces surfaces de manière qu'elles se touchent le long des lignes G et G', confondues en une seule droite. Alors, si, A restant fixe, on fait tourner A' de 1800 autour de la normale commune au point central, il y aura encore raccordement, car les plans tangents situés de part et d'autre du point central et à égales distances ont des obliquités égales et de sens opposé. Ensuite, si, considérant la surface A' dans sa première position et dans celle que nous venons de lui donner, on la fait tourner de 1800 autour de la génératrice commune, les plans tangents aux divers points de cette droite accompliront une demi-révolution qui les ramènera à leurs positions premières. Les surfaces A et A' peuvent donc se raccorder le long des génératrices G et G' dans quatre positions relatives différentes.

Si A" est le paraboloïde formé par les tangentes aux sections faites dans A par des plans perpendiculaires h G, la rotation de 1800 autour de la normale au point central amènera chaque génératrice tangente à une position précédemment occupée par une autre génératrice, et la rotation autour de G ne changera pas la position d'une génératrice tangente considérée comme une droite indéfinie. La surface A et le paraboloïde A' placé successivement dans ses quatre positions de raccordement ne formeront donc qu'un seul système géométrique.

Sommets et arêtes.

629. Nous appellerons sommets d'une surface gauche les points singuliers où deux génératrices consécutives G et G' se rencontrent. Le plan déterminé par ces droites est tangent tout le long de G; cependant la largeur de l'élément superficiel, qui dans ce cas est xu au point dont l'abscisse est x9 devient nulle au sommet, qui est évidemment le point central, et l'on ne voit pas si le plan des génératrices est tangent en ce point à la surface.

La distance p de la génératrice G à la génératrice voisine G' étant nulle, le paramètre k est également nul d'après l'équation (2) : la formule (1) donne par suite une obliquité indéterminée pour le plan tangent au sommet et une obliquité de 900 pour les plans tangents a tous les autres points de la génératrice.

l5o LIVRE VU. — SURFACES GAUCHES.

Afin d'éclaircir celte question, nous allons reehercher comment se modifient les positions du plan tangent aux divers points d'une génératrice, quand le paramètre k diminue indéfiniment.

630. Supposons qu'aux différents points d'une génératrice, et dans un même plan, on élève à cette droite des perpendiculaires égales aux co tangentes de l'angle 0 : en considérant ces perpendiculaires comme des ordonnées correspondantes aux abscisses mesurées sur la génératrice à partir du point central, nous obtiendrons une courbe dont l'équation sera

xv — RA,

R étant le rayon du cercle par rapport auquel la colangente de l'angle 6 a une longueur y.

Cette ligne est une hyperbole dont les asymptotes sont la génératrice et la droite qui lui est perpendiculaire au point central. Lorsque le paramètre k est petit, les branches de l'hyperbole sont rapprochées de ces droites, ce qui indique que le plan tangent accomplit presque entièrement sa demi-révolution de i8o° (art. 617) quand le point de contact parcourt une petite longueur près du point central, et qu'au delà, sur presque toute la longueur de la génératrice, les plans tangents différent peu du plan tangent à l'infini. A la limite, quand le paramètre est nul, l'hyperbole se confond avec ses asymptotes, le point central est un sommet, et le plan tangent fait son évolution complète quand le point de contact y est parvenu (*).

Tous les points de la seconde asymptote ont une abscisse nulle; cela indique que tous les plans contenant la génératrice qui passe au sommet doivent être considérés comme tangents en ce point, quelle que soit leur inclinaison sur le plan central. Nous verrons cependant que l'un d'eux a, en général, un contact plus intime que les autres avec la surface. Nous nous bornerons ici à examiner ce qui se passe sur les développables.

631. Sur une développable à arête de rebroussement, une génératrice rencontre la génératrice qui lui est infiniment voisine au point où elle touche l'arête. Chaque point de cette courbe est donc un sommet; nous savons que la développable y a une infinité de plans tangents, mais que le plan de rebroussement a un contact plus intime avec la surface (art. 442).

(') M. Bour a remarqué le premier que l'on devait considérer le plan tangent d'une surface gauche en un point do la génératrice qui passe à un sommet comme faisant une rotation do 1800 pendant que son point mobile de contact est au sommet ( Théorie de la déformation des surfaces, art. 22).

Nous avons emprunté à M. Bour les dénominations de sommets et d' 'arêtes, mais, ainsi qu'il le dit, nous avons le premier signalé l'importance do ces points et do ces droites dans l'étude des courbes d'ombre des surfaces gauches.

l5a LIVRE VIT. — SURFACES GAUCHES.

devient parasite au delà de I, car les cônes se sépareraient si leur sommet glissait sur elle dans celte direction.

634. Une surface gauche étant supposée éclairée par un point lumineux» le contour de son ombre sur un plan quelconque est l'enveloppe des ombres de ses génératrices (art. 435). Si deux génératrices consécutives G et G' se coupent en un point I, leurs ombres g et g se rencontreront sur l'ombre i de I, et le point i appartiendra au contour de l'ombre portée; le sommet I sera donc un point de la ligne d'ombre propre.

Chacune des droites g et g* touche la courbe d'ombre portée en un point» et par suite la courbe d'ombre propre a deux points distincts sur les génératrices G et G'; comme d'ailleurs le point de rencontre I est l'un des deux, cette courbe y est tangente à G. Nous avons par conséquent ce théorème :

Toute ligne d'ombre et de contour apparent d'une surface gauche passe par chaque sommet et y est tangente à là génératrice.

En considérant les surfaces développables comme formant une variété de surfaces gauches» on voit que leurs lignes d'ombre et de contour apparent doivent comprendre» outre un certain nombre de génératrices» l'arête de rebroussement qui est une ligne de sommets.

635. Si l'on suppose qu'un sommet s'éloigne sur la génératrice et disparaisse a l'infini, cette droite deviendra parallèle à la génératrice infiniment voisine et sera asymptote de toutes les courbes de contact des cônes et des cylindres circonscrits. Par conséquent, en appelant arêtes les génératrices qui sont respectivement parallèles à celles qui leur sont infiniment voisines» nous avons ce théorème :

Les arêtes d'une surface gauche sont asymptotes de toutes les courbes d'ombre et de contour apparent.

Le point d'une arête situé à l'infini est un sommet et par conséquent l'extrémité de l'arc utile d'une ligne double, mais cette courbe peut n'avoir que ce point à l'infini ou y être tout entière. De là deux dispositions que nous étudierons plus loin. Nous supposons toujours que les directrices n'ont ni inflexions ni rebroussements.

636. Quand une génératrice G est parallèle à la génératrice voisine G', un même plan est tangent tout le long de cette droite, et Ton ne peut déterminer la position du point central qu'en le considérant comme appartenant à la ligne de striction. Ce point peut être à une distance finie ou à l'infini : dans le premier cas, p reste un infiniment petit de premier ordre, et, comme a est nul, la formule (s) montre que k est infini; dans le second, les génératrices se rencontrent au point central; par conséquent,/? devient nul comme <7, et l'équation (2) ne donne aucune indication sur la valeur de k. Nous verrons plus loin, en étudiant diverses surfaces, comment on peut reconnaître quelle est alors la valeur du paramètre (art. 655, 663, 669, 677); nous nous bornerons, quant à présent, à remar-