M'OM

La courbe étant une spirale d'Archimède, les accroissements du rayon vecteur sont proportionnels aux accroissements des azimuts; la sous-normale ON est donc constante. Sa longueur est le rayon d'un cercle dont la circonférence égale l'augmentation du rayon vecteur lorsque l'azimut varie de 36o°.

(a) Nous avons déjà vu à l'article 236 que l'on ne peut pas déterminer par les plans tangents les tangentes au point double de l'intersection de deux surfaces qui se touchent. La méthode par une courbe

17a LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

675. Si Ton coupe le conoïde par un cylindre de révolution ayant pour axe la verticale du point 0, et si Ton développe le cylindre» la transformée de la section sera une ellipse, car les points de cette courbe et ceux de la directrice aplanie A'B' qui appartiennent à une même génératrice ont des ordonnées égales et des abscisses dans un rapport constant.

L'axe horizontal de cette ellipse est ^y A'B', en désignant par r le rayon du

cylindre. L'axe vertical ne varie pas, et par conséquent, suivant la valeur de r, le rapport des deux axes peut avoir toutes les grandeurs possibles.

Le conoide que nous venons d'étudier est quelquefois appelé conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde , parce que Hachette , qui avait remarqué les propriétés géométriques de son intersection avec un tore, a proposé de l'employer pour la surface de cette voûte (*).

676. Emploi d'un conoïde droit comme surface auxiliaire pour la solution d'un problème de Géométrie plane. — La considération d'un conoïde droit permet de faire dépendre la construction des rayons de courbure de la courbe de l'ombre portée d'une surface de révolution, sur un plan perpendiculaire à son axe, de celle des tangentes à la courbe de l'ombre propre.

Si la sphère (0, 0') (Jig. 220) est éclairée par des rayons de front, la séparatrice sera le grand cercle projeté sur la droite A'G' perpendiculaire à la projection verticale R' de l'un des rayons, et l'on obtiendra facilement sur le plan horizontal l'ombre m de l'un quelconque (M, M') de ses points.

Nous savons que les normales de la courbe d'ombre portée sont les ombres des horizontales qui joignent les points de la séparatrice avec l'axe (0, 0'I ) (art. 550). Le lieu général de ces lignes forme un conoïde droit. La courbe uui9 ligne de l'ombre portée par cette surface gauche sur le plan horizontal, est l'enveloppe des ombres de ses génératrices, et par suite la développée de l'ombre ab de la surface de révolution. Le point nf où l'ombre im du rayon (OM, IM'j touche cette enveloppe, est donc le centre de courbure de amb pour le point m, et la trace du rayon qui touche le conoïde en un point de la génératrice (OM, IM').

d'erreur que nous avons exposée à cet article est souvent commode ; quant à celle dont nous venons de donner une application, et qui consiste à rechercher la loi du tracé des tangentes de la courbe considérée en elle-même et indépendamment de ses relations avec les surfaces, elle présente généralement des difficultés. Nous verrons plus loin (art. 866) une troisième méthode pour l'explication de laquelle les droites Uw et uY ont été tracées sur layfc. 3oi.

La théorie exposée à l'article 673 montre que la projection de l'intersection ne change pas quand les longueurs vQ et VB' augmentent dans un même rapport. On peut donc agrandir les surfaces de manière que les points E, F, G, H ne soient plus les extrémités des arcs utiles des spirales. Cette considération conduit, pour la tangente en ces points, à une construction que nous laissons au lecteur le soin de développer.

(') Voir le journal l'Architecte, février 1 833.