CHAPITRE III. - CONOIDE

sur un cylindre. Une spirale d'Archimède est facile à tracer, et les constructions ne présentent aucune difficulté.

674. On peut dégager la construction de la tangente des considérations relatives aux surfaces, de manière à avoir un tracé applicable aux parties parasites de la projection de la courbe d'intersection.

On a dans le triangle rectangle rMt

OM,T O r* Odaii OMXD.T UngrMl = ^ = -^ = OVXK/

Sur les ellipses A'B' et PQ, les longueurs horizontales homologues telles que D,T et Rr' sont proportionnelles aux demi-axes V"B' et *>Q. D'après cela, l'égalité que nous avons trouvée devient

Si nous élevons en M et en 0 des droites MK et OK respectivement perpendiculaires à M/ et à OM, la longueur OK interceptée sur la seconde de ces lignes est appelée sous-jiôrmale, et il est facile de voir, d'après l'équation précédente, que sa longueur est égale à R; par conséquent, dans la spirale d'Archimède, la sousnormale est constante et égale au paramétre ( 4 )

Ce théorème permet de déterminer la tangente en un point quelconque de la courbe, et nous ferons remarquer que ce n'est pas seulement dans les parties parasites que la construction par les plans tangents se trouve en défaut, mais encore au point double V, où ces plans se confondent, et aux extrémités E, F, G et H, où la tangente est verticale (2).

(') Il est facile de démontrer directement cette proposition. Soient 0 l'origine, M et M' deux points Tune spirale d'Archimède infiniment rapprochés l'un de l'autre, Mm un arc décrit du point 0 comme centre, MN et ON des droites respectivement perpendiculaires à MM' et à OM (fig. 3oi, a).

Le triangle MON est semblable au triangle infiniment petit M m M', que Ton peut considérer comme

rectiligne:onadonc

M//i:///M':: OM:ON.

En remplaçant Tare M/w par sa valeur OM x M'OM, on obtient