CHAPITRE III. — CONOIDE. l'jS

pour directrices l'ellipse (bc, b'c') (fïg. *g5) et l'hyperbole H située dans le plan vertical de projection et placée de manière à avoir pour Tune de ses asymptotes la projection xy d'une tangente horizontale de l'ellipse. L'hyperbole a un arc utile et double qui s'étend du point I au point situé à l'infini sur la génératrice (ag9 xy) : cette droite est évidemment une arête.

Si l'hyperbole H était remplacée par une courbe ayant les deux bras d'une branche infinie situés au-dessous de leur asymptote xy, la droite (ag, xy) serait encore une arête; mais son point à l'infini ne serait plus l'extrémité d'un arc utile» ce qui tient à ce qu'une directrice aurait une inflexion (art. 183), et que les observations que nous avons présentées à l'article 637 ne seraient plus applicables.

679. Si l'on considère les surfaces développables comme une variété des surfaces gauches, l'arête de rebroussement sera une ligne de sommets, ainsi que nous l'avons déjà remarqué (art. 634). Chacun de ses points est en effet sur deux génératrices consécutives; la surface y a un plan de rebroussement et une infinité de plans que l'on peut considérer à certains égards comme tangents; enfin chaque ligne d'ombre complète se compose d'un certain nombre de génératrices et de l'arête de rebroussement.

Dans les développables, les extrémités des parties utiles des directrices se trouvent aux points où trois génératrices se coupent, c'est-à-dire aux points de rebroussement de l'arête, qui sont les points auxquels, pour ces surfaces, nous avons réservé le nom de sommets.

On voit que quelques propriétés des sommets des surfaces gauches appartiennent à tous les points de l'arête des développables, et d'autres seulement aux points de rebroussement de cette ligne. Nous ajouterons que la section faite dans une développable par un plan passant à un sommet a un rayon de courbure nul sans rebroussement (art. 491), disposition que l'on ne trouve pas dans les sections des surfaces gauches.

680. Quand l'une des directrices d'une surface gauche a des inflexions, la surface peut avoir des sommets étrangers aux lignes doubles, et n'ayant d'autre propriété que d'appartenir à deux génératrices consécutives et à toutes les lignes d'ombre.

Ainsi, si un conoïde oblique a pour plan directeur le plan horizontal, et pour directrices la droite (B, B') et la courbe À qui a un contact du second ordre avec la ligne de terre (Jîg. 291), la trace b de la directrice rectiligne sera sur deux génératrices consécutives; mais cette droite n'aura ni segment double ni segment parasite.