CHAPITRE IV

HYPERBOLOIDE.

681. On appelle hyperboloïde à une nappe la surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur trois directrices rectilignes. Cette surface se réduit au système de deux plans Q et Q, [fig. i\o) quand deux directrices AB et AiB, sont dans un même plan, la troisième A2B2 étant quelconque. Si cette dernière directrice était dans le plan Q déterminé par les deux premières, le second plan Q, se confondrait avec Q.

Lorsque les trois directrices ont un point commun à distance finie ou infinie, toute droite passant par ce point satisfait aux conditions imposées aux génératrices, et par suite la surface n'est pas déterminée.

Nous supposerons toujours que les directrices n'ont aucune des positions relatives exceptionnelles qui viennent d'être énumérées, et alors la surface, n'étant pas un système de plans et ayant des directrices rectilignes, sera gauche (art. 461). Nous la désignerons simplement sous le nom A' hyperboloïde.

Nous supposerons encore généralement que les trois directrices ne sont pas parallèles à un même plan. Les propriétés que nous établirons sans introduire cette nouvelle hypothèse appartiennent évidemment au paraboloïde (art. 610).

682. On obtient la génératrice qui passe par un point choisi arbitrairement sur une directrice en prenant l'intersection des plans déterminés par ce point et respectivement par les deux autres directrices. On opère d'une manière analogue quand on veut avoir la génératrice qui rencontre une directrice à l'infini.

Les trois directrices étant représentées en projection par les droites A, A' et A" {fig - 3o2), en faisant passer par chacune de ces lignes deux plans respectivement parallèles aux deux autres, nous obtenons six plans distincts, parallèles deux à deux, et dont les intersections forment les arêtes d'un parallélépipède CDEFJHGI.

L'arête JF ou B rencontre la directrice A' en un point J, parce qu'elle est dans le plan DEF mené par A' parallèlement à A; elle coupe la directrice A" en un point F, parce qu'elle est dans le plan JHG mené par A" parallèlement à A; elle a enfin un point commun avec la directrice A à l'infini, parce qu'elle est l'intersection de deux plans parallèles à celte droite : elle est donc une génératrice de la surface. Les arêtes B' et B" opposées a A' et A" sont également des génératrices (').

') Nous appelons les droites A, A', A", B, B' et B" des arêtes quand nous les considérons sur le parai-