CHAPITRE V. — SURFACES QUI N'ONT PAS DE PLAN DIRECTEUR. HOg

peuvent être considérées comme formant un groupe caractérisé par la grandeur absolue de l'angle /i'O'D'.

751. Sommets. Le plan horizontal contient les deux génératrices (AC, A'C), (BD,B'D' )(/?#. 3i7), qui forment un groupe simple. Lorsque la première passe à la position voisine, elle décrit un élément plan, en glissant sur les tangentes verticales des directrices circulaires aux points (A, A') et (C,C), et en tournant autour du point (I, 0') de la directrice droite. Ce point est donc un sommet; il en est de même du point (J, 0'), situé sur la génératrice (BD, B'D').

A chaque sommet, le plan de rebroussement est déterminé par la génératrice et la directrice (U,0') (art. 739) : c'est le plan horizontal de projection. Aux autres points des génératrices horizontales AC et BD, le plan tangent est vertical.

Le segment IOJ de la directrice rectiligne est parasite {Jig. 317); mais on reconnaît facilement que, lorsque les projections verticales des directrices circulaires ne se rencontrent pas {Jig. 3i8), le segment parasite de la directrice rectiligne est celui qui s'étend du point I au point J en passant par l'infini, tandis que le segment IOJ est double sur la surface.

752. Arêtes. Lorsque la trace verticale du plan auxiliaire est tangente aux projections des directrices circulaires, les deux génératrices parallèles (M/h, M' m! ) et (Nn,N'/i') {Jig. 3i8) se confondent en une seule {pq*p'q')> qui est par conséquent une arête; la génératrice symétrique {pq>p\q\) est également une arête. On voit» en effet, que ces deux droites forment le contour apparent de la surface sur le plan vertical, et par conséquent qu'un même plan perpendiculaire au plan vertical est tangent à la surface tout le long de chacune d'elles.

Les points p et q sont à égales distances des points 0, et 02; il en résulte que la projection horizontale pq passe par le centre 0 de la surface et que les arêtes se croisent en ce point.

Les arêtes forment un groupe simple qui correspond à la valeur maximum de l'angle n'O'D'.

Dans la disposition adoptée sur \a Jig. 317, aucune génératrice ne passe par le centre, et la surface n'a pas d'arêtes. Le plan vertical (Ot 02, P« P) contient deux génératrices qui forment un groupe simple.

Si les projections verticales des directrices circulaires étaient tangentes l'une à l'autre, la surface se décomposerait en deux cônes; elle se réduirait à un cylindre si ces projections se confondaient.

753. Relations dfhomologie. Les directrices circulaires sont, sur la projection verticale, deux figures homologiques dans lesquelles les points M' et m' situés sur une même génératrice se correspondent {fig. 317 ou 3i8). Le point 0' est le centre, et la droite Q?z l'axe d'homologie.

Pour démontrer cette proposition, on peut considérer un cône dont le sommet S se projetterait en O'iftg. 3ao a) et qui aurait pour directrice le cercle ( A' B\ A"B") . II. *7

Od trouve que le second cercle CD' est la projection d'une section faite par un plan CD" contenant la droite (PPlf 0"), ce qui, d'après les définitions que nous avons données (art. 401 ), suffit pour établir les relations d'homologie.

Il résulte de là que les tangentes des directrices circulaires à deux points homologues M' et N' (fig. 3ig) se rencontrent en un point U de la droite 0%

754. Cône directeur. Nous menons par le point (0,0') [fig. 3i8) une droite (0/x, O'/x') parallèle aux génératrices (M/w,M'm') et (Nn,N'/i'): la trace, p' de cette droite sur le plan vertical CD se trouve à égales distances des points m' et/*' (art. 750), et par suite au pied de la perpendiculaire qui serait abaissée du centre F dy cercle CD'. Le lieu des points /jl', trace du cône directeur placé de manière à avoir son sommet au centre (0, 0'), est donc le cercle décrit sur O'F comme diamètre. Sa trace sur le plan XY de la première directrice {fig. 319) est le cercle E0'(f).

La surface n'a pas de génératrices parallèles aux génératrices du cône directeur qui ont leur trace sur l'arc q'0'q\ [fig* 3 18). Le cône a donc une partie parasite quand les projections verticales des directrices circulaires ne se coupent pas. Les génératrices (Oq, Oy) et (Oq, 0'q\)9 qui limitent la partie utile, sont parallèles aux arêtes de la surface (a).

755. Nous nous proposons de construire le plan tangent de la surface en un point (m, m') situé sur yne génératrice (MLN, M'O'N') (fig. 319).

Nous remplaçons les deux cercles par leurs tangentes (X,Y,, UM'), (XY, UN'), et, conservant la directrice rectiligne, nous avons un hyperboloïde de raccorde-

(') Quand une surface gauche est algébrique et de degré /*, son cône directeur est également algébrique et d'un degré qui s'élève au plus à //, car on peut le considérer comme ayant pour directrice la section de la surface par un plan situé à l'infini, et cette courbe ne peut pas être d'un degré supérieur à /?.

Si les génératrices de la surface sont parallèles deux à deux, trois à trois..., son cône directeur

sera double, triple. . . , et d'un degré égal, au plus, à - //, ^ //, On peut quelquefois, par des considérations de cette nature, reconnaître qu'une surface d'un ordre élevé a un cône directeur du second degré, ce qui est d'un grand intérêt pour les constructions.

On est encore assuré qu'une surface gauche a un cône directeur du second degré quand elle est coupée suivant des coniques par une série de plans parallèles, ou plus généralement par une série de plans disposés de telle manière que l'un d'eux soit à l'infini. Dans ce cas, le cône directeur est simple.

Le cône directeur de la surface du biais passé est double et du second ordre; il en résulte que la surface est du quatrième ordre. Cette proposition sera démontrée directement à l'article 770.

(2) Si l'on transporte parallèlement à elles-mêmes toutes les génératrices du conoïde représenté sur la fig. 299, de manière à les faire passer par un même point, le lieu de ces droites sera une surface plane limitée aux parallèles des arêtes. On doit donc regarder le cône directeur de cette surface comme ayant des parties parasites, ainsi que celui du biais passé. Celte circonstance se présente toutes les fois que le cône est double; lorsqu'il est simple, il a des rebroussements le long des génératrices parallèles aux arêtes. Nous supposons que les directrices de la surface gauche n'ont ni inflexions ni rebroussements.