CHAPITRE V. — SURFACES QUI N'ONT PAS DE PLAN DIRECTEUR

Cette construction permet de déterminer par points la courbe de contact d'un cône circonscrit dont le sommet est donné (art. 646).

745. On peut, pour la solution de ces problèmes, commencer par changer Thyperboloïde en un paraboloïde (art. 740), et alors il n'est nécessaire de construire qu'une génératrice du même système que celle qui passe par le point donné ou qui est contenue dans le plan.

Par le point/?, où cette génératrice G (Jig. 3^3) rencontre l'une des directrices, nous faisons passer un plan Q parallèle aux tangentes R et S des autres directrices, et nous prenons son intersection T avec le plan qui contient la génératrice G et la tangente T, et qui, par conséquent, est tangent en p. Les droites R, S et T' déterminent un paraboloïde de raccordement dont nous construisons une génératrice G' de même système que G.

Maintenant, si l'on veut avoir le plan tangent en jjl, on fera passer parce point un plan parallèle à Q, et l'on cherchera le point /x' où il coupe G'. La droite /x/x' est une génératrice du second système; elle se trouve avec G dans le plan demandé.

Si, au contraire, on cherche le point de contact d'un plan donné contenant G, on construira son intersection fi! avec G', et par ce point on mènera un plan parallèle à Q, qui coupera G au point demandé /x.

746. Quand la surface est donnée par deux directrices A et B et un cône directeur C (jig. 325), on détermine les tangentes R et S des courbes, et le plan tangent P du cône directeur le long de la génératrice # parallèle à G. Le paraboloïde qui a pour directrices les droites R et S et pour plan directeur le plan P se raccorde avec la surface le long de G (art. 614). Les problèmes sont donc ramenés a ceux que nous avons résolus aux articles 644, 645 et 646.

747. Nous avons vu (art. 615) que les plans tangents du cône directeur sont respectivement parallèles aux plans passant par les différentes génératrices et tangents à l'infini. Il résulte de là que les génératrices (autres que les arêtes) auxquelles correspondent les branches infinies de la courbe de contact d'un cylindre circonscrit sont parallèles aux génératrices du cône directeur le long desquelles le plan tangent est parallèle au cylindre, ce qui permet de les déterminer.

Il n'est pas aussi facile d'obtenir les génératrices auxquelles correspondent les branches infinies de la courbe de contact d'un cône circonscrit dont le sommet S est donné. On y parviendrait en menant du point S des plans tangents à la développable asymptote ; mais cette construction exige que l'on ait tracé au préalable l'intersection de cette surface par un plan contenant le sommet S. On peut souvent disposer des courbes d'erreur qui conduisent plus simplement à la solution du problème.

748. Pour construire les asymptotes des branches infinies d'une section plane

on cherche les génératrices du cône directeur qui sont parallèles au plan sécant» on détermine les génératrices de la surface qui leur sont parallèles, et on prend l'intersection du plan sécant par les plans passant par ces dernières droites et respectivement parallèles aux plans tangents du cône. Nous avons donné» à l'occasion de l'hyperboloïde, un exemple de cette construction (art. 711).

Nous rappellerons qu'une section plane peut avoir d'autres branches infinies que celles qui correspondent aux génératrices parallèles au plan (art. 599). On ne peut donner aucune règle générale pour déterminer les asymptotes de ces branches.

Nous allons maintenant étudier sur une surface spéciale les tracés relatifs aux surfaces gauches qui n'ont pas de plan directeur.

Surface du biais passé.

749. La surface du biais passé est la surface gauche dont les directrices sont deux cercles égaux et situés dans des plans parallèles, et une droite perpendiculaire à leurs plans et passant par le milieu de la ligne qui joint leurs centres.

Nous prenons pour plan horizontal celui qui contient les centres des cercles et la directrice rectiligne; le plan vertical est parallèle aux plans des cercles.

Un plan auxiliaire (OtO' 9Wn') passant par la directrice rectiligne (0,02t0') (Jig. 317) coupe en deux points chacun des cercles (AB, A'M'B'), (CD, C'n'D'), et détermine quatre génératrices. Les deux génératrices alternes (M/i,MV) et (N#z,N'f/i') rencontrent la directrice rectiligne au milieu 0 du segment 04 Oa intercepté par les plans des cercles; l'ensemble de ces lignes forme donc un cône qui a son sommet en ce point. Les génératrices externes (M/w, M'm')et (Nn,N'n') coupent la directrice rectiligne en des points différents, et par suite leur lieu n'est pas un cône, mais une surface gauche (art. 464), celle que nous voulons étudier.

750. Centre. Plan principal. 11 résulte des symétries de la figure que les droites (M/w, Wm') et (N/i, N'/i') sont parallèles et à égales distances du point (0,0'); comme d'ailleurs cette disposition se reproduit pour tous les couples de génératrices contenues dans les plans auxiliaires, nous voyons que la surface a un centre» qui est le point (0,0').

Un second plan auxiliaire (0, 0', M'i/i'J, faisant avec le plan horizontal un angle M', O'A' égal à N'O'D', contient deux génératrices qui ont avec les précédentes des positions symétriques par rapport au plan horizontal de projection. Ce dernier plan est donc un plan principal de la surface.

Les quatre génératrices

(Mm,M'm'), (Mw,M>'t),