CHAPITRE V. — SURFACES QUI NONT PAS DE PLAN DIRECTEUR

La substitution de ces valeurs dans l'équation de MN donne , . b b\

a cob'cu acoscô

Quand la génératrice considérée est Tune des deux arêtes (Oy, O'y') et (Oy, 0'q\)9 X est nul; on a, d'après (i),

ca ^ —

COS* Ci) =

et l'équation (2) devient

Si nous éliminons y entre les équations (2) et (3), la valeur de x sera l'abscisse 0>t du point de rencontre K de la génératrice MN avec la droite ûxepq. On trouve ainsi

0* = — =- — cosw.

Mais, en faisant x nul dans l'équation (2), on obtient, en ayant égard à l'équation (1),

a cos a> donc

(4) 0*xOL = £(*»-*■).

Le produit des segments Ok et OL est donc constant (* ) ; il en est de même du produit des segments OK et OL, car le rapport de OK k 0* est indépendant de la position génératrice considérée (NM, N'M'). 11 résulte de là que les projections horizontales des génératrices sont tangentes à une hyperbole dont les asymptotes sont la directrice rectiligne Oy et la projection pq des deux arêtes. Le point de contact l'est le milieu de LK. Les coordonnées de ce point par rapport aux droites Oy et Oq prises pour axes sont les moitiés des segments OK et OL.

759.. Si Ton fait y égal à b dans l'équation (3) de la droite pq9 la valeur de x sera l'abscisse 07q du point q\ nous avons donc

d'où

Oayx002 = £(aa-ra).

(•) Division homograpliique (art. 694).

2l4 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

En rapprochant ce résultat de l'équation (4), on voit que la droite OsD, qui n'est pas la projection d'une génératrice, est cependant tangente à l'hyperbole; cette courbe est donc en partie parasite. Le point où elle est touchée par la génératrice horizontale AC, c'est-à-dire le milieu R du segment 1/, est l'une des extrémités de l'arc utile. La seconde extrémité est au point S, symétriquement placé sur l'autre génératrice horizontale.

Le contour apparent de la surface sur le plan horizontal se compose, outre l'arc d'hyperbole qui va de R à S en passant par le point situé à l'infini sur l'asymptote pq, des deux génératrices AC et BD aux divers points desquelles le plan tangent est vertical.

760. Sur une surface gauche dont toutes les génératrices sont à distances finies, les branches infinies de la courbe de contact d'un cylindre correspondent les unes aux arêtes, et les autres aux génératrices pour lesquelles le plan tangent à l'infini est parallèle au cylindre (art. 638); le cône directeur permet de déterminer facilement ces dernières droites. Le cône directeur de la surface du biais passé a des plans tangents verticaux le long des génératrices qui aboutissent aux points F' et 0' (fig. 32o); les génératrices de la surface qui leur sont parallèles ne doivent donc rencontrer qu'à l'infini la courbe de contour apparent sur le plan horizontal. La génératrice du cône qui a sa trace en F' est parallèle aux droites AC et BD qui font partie du contour apparent, comme nous l'avons vu; celle qui perce le plan vertical au point 0' est sur une partie parasite, mais elle indiquerait une branche infinie utile si les directrices circulaires se coupaient sur le plan vertical, parce qu'alors le cône entier serait utile. Nous allons examiner ce cas sur une nouvelle figure, dont nous avons disposé les données de manière que le contour apparent sur le plan horizontal soit une hyperbole identique à celle de la

fig. 32o. Si nous appelons a\ b' et r' les nouveaux paramètres, il nous a suffi de faire

a' = a9 £'=-6, r'^aa'-r2,

car les équations (3) et (4) ne sont pas modifiées et r* est plus grand que a', ce qui est nécessaire pour que la disposition que nous voulons examiner se produise. La longueur O'q' {fig. 3ao) est égale à y/a2 — r2; par conséquent, si on la porte en O'q" sur O'z, la distance des points E' et q" sera le rayon r* .

761. La fig. 32i représente une surface de biais passé dont les trois paramètres ont les longueurs qui viennent d'être déterminées et qui a par conséquent, sur le plan horizontal, un contour apparent identique à celui que nous avons obtenu pour la surface de la fig. 32o.

Les deux génératrices (020,, P), (OaO,, P«) sont parallèles à la génératrice (020,, 0') du cône directeur et déterminent pour la courbe de contact du cylindre circonscrit vertical deux branches infinies qui se superposent en projec.