CHAPITRE V. — SURFACES QUI N'ONT PAS DE PLAN DIRECTEUR

tion horizontale. Le plan (OaO,, P^'P) touche la surface aux points de cette courbe situés à l'infini, en contient par conséquent les asymptotes et les projette sur la trace O^.,.

Nous voyons donc que les deux branches infinies de l'hyperbole correspondent Tune aux arêtes, l'autre à deux génératrices qui sont parallèles à la directrice rectiligne, et par chacune desquelles passe un plan vertical tangent à l'infini. Ces génératrices sont réelles quand les arêtes sont imaginaires, et réciproquement. Il résulte de là que Tune des deux branches infinies est toujours parasite (').

762. Si nous voulons déterminer directement sur la fig. 32 1 la droite pq, projection de deux arêtes imaginaires et asymptotes de la branche parasite de l'hyperbole, nous remarquerons que le point q [fig. 32o) est sur la droite q' q\9 sécante commune des cercles CD' et O'F', c'est-à-dire sur la perpendiculaire à la ligne des centres qui passe par le point e, déterminé par l'équation

êO,X£P = £CxêD'.

Sur h fig. 32i, les cercles CD' et O'F' ne se coupent pas, mais il existe cependant sur A'D' un point e satisfaisant à l'équation ci-dessus; la droite perpendiculaire à la ligne des centres et passant par ce point jouit, par rapport aux cercles, de toutes les propriétés dans l'expression desquelles les points d'intersection qf et q\ n'entrent pas explicitement. Ainsi, par exemple, les tangentes menées d'un point quelconque de cette droite aux deux cercles sont égales entre elles; seulement elles ne peuvent pas être nulles, comme dans la première disposition.

Nous appellerons, avec M. Poncelet, sécante commune idéale de deux cercles CD' et O'F' qui ne se coupent pas {fig. 3a i ) la droite vje qui possède les propriétés des sécantes communes ordinaires, bien qu'elle ne rencontre pas les cercles (2).

763. En considérant trois cercles tracés sur un plan comme les projections de trois sphères ayant mêmes centres qu'eux {fig. 3*4), on reconnaît que les droites ab, cd et e/9 sécantes communes de ces cercles, se rencontrent en un même point M, projection des deux points où les sphères se coupent (*). Chaque sécante commune de deux cercles est d'ailleurs perpendiculaire à la ligne des centres.

D'après cela, pour avoir la sécante commune des cercles CD' et O'F' {fig. 32i), nous les coupons par un arc de cercle nprsx : le point de concours y? des sécantes nx

(*) M. Leroy a trouvé par l'analyse que le contour apparent de la surface du biais passé sur le plan horizontal est une hyperbole, mais il n'a donné aucune explication géométrique sur ce résultat (Analyse appliquée à la Géométrie des trois dimensions ', art. 323).

(') Quelquefois, sans distinguer les différences de position des deux cercles CD' et O'F' (/?#. Zio et 3*2i), on donne à la droite t q le nom d'axe radical proposé par M. Gaultier (de Tours).

(3) Ce théorème et la démonstration que nous en donnons sont dus à Monge.

21 fi LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

etpa appartient à la droite cherchée i?e et fait ainsi trouver le point y, où l'asymptote/^ rencontre la ligne 02D (4).

Le point y n'est pas la projection de deux points d'intersection des sphères auxquelles appartiennent comme grands cercles les cercles CD', O'F et itpax, car les deux premières ne se rencontrent pas; mais les relations graphiques établies dans le cas de \&fig* 3^4, étant par elles-mêmes indépendantes de l'existence des sphères, continuent à subsister entre les droites qui possèdent les propriétés des sécantes communes.

764. Pour achever de déterminer la courbe de contour apparent par rapport au plan horizontal, nous allons construire sa projection verticale.

L'abscisse x du point (i, ï) (Jtg. 3ao) est égale à la moitié de Qk; nous avons donc (art. 758)

a? = — ~— COSCO ou x* = 7T* , . , NCOS*G».

Les axes étant O'D' et O'z, on a

(5) tango

L'élimination de 6> donne l'équation de la projection verticale de la courbe :

La projection verticale est donc une section conique. Ses axes sont les droites A'D' et O'z [fig. 3ao ou 3ai ). Les sommets sont toujours réels sur Taxe À'D' : ce sont les points R' et S' qui correspondent aux extrémités R et S de l'arc utile de la projection horizontale.

La conique donnée par l'équation (5) ne peut pas avoir de partie parasite, car chacun de ses points ne correspond qu'à un point du contour apparent de la surface par rapport au plan horizontal. La droite indéfinie A'D', projection des génératrices horizontales ACet BD, fait partie de la projection complète de ce contour apparent.

765. Dans le cas de la fig. 32o, la courbe est une hyperbole qui a pour asymptotes les projections //y' et p\qi des arêtes. Sur \*fig. 3ai, c'est une ellipse QR'QiS' dont l'axe vertical QQ, est égal à la moitié de PP,. Les points Q et Q, sont les projections des points du contour apparent situés à l'infini et des asymptotes de cette ligne.

(') La première équation de l'article 759 montre que les droites qui iraient du point P aux points F' et < seraient rectangulaires. De là résulte un second moyen également très-simple de déterminer t et par suite 7.