CHAPITRE V. — SURFACES QUI N*ONT PAS DE PLAN DIRECTEUR. 2ICJ

cercles. Ces lignes étant O'a, O'y etO'/3, la sous-normalc O'J de la conchoïde pour le point m\ doit être donnée par l'équation

Par conséquent, si nous portons la longueur j3y de a en 8, le point à appartiendra à la normale de la courbe en m\ (').

Cette construction conduit à une détermination facile du plan langent en un point donné de la surface.

770. Equation de la sur/ace. Sections planes diverses. L'élimination de X et de w entre les équations (i), (2) et (5) donne l'équation de la surface

•rxy y — r2^2 -h {a2 — r*)z* — o.

Cette équation est du quatrième degré, et par suite les sections planes sont du quatrième ordre : toutefois quelques sections se décomposent; ainsi les plans contenant la directrice recti ligne coupent la surface suivant cette droite, qui est une ligne double, et deux génératrices.

771. Génération de la surface par des coniques. Nous avons vu à l'article 750 que les génératrices appartiennent deux à deux à des plans verticaux ; dans chacun de ces plans la section de la surface est complétée par une conique. Comme d'ailleurs le plan horizontal est principal, la trace horizontale d'un plan vertical qui contient deux génératrices est un axe de la conique d'intersection, et les sommets correspondants de cette courbe sont sur les génératrices horizontales A ,C, et B,D, {fig. 3ao ou 32i).

Si le plan considéré est celui dont la trace est MN {Jig. 3ao), les deux génératrices situées dans le plan vertical nm lui sont parallèles, et la courbe a deux branches infinies dont les asymptotes sont parallèles à ces génératrices, et par suite à celles qui sont dans le plan NM lui-même; c'est donc une hyperbole complètement déterminée.

Si le plan sécant se meut de manière que le point de contact i de sa trace sur l'hyperbole de contour apparent s'éloigne, l'axe transverse diminuera et l'angle des asymptotes croîtra d'une manière continue. Quand le point de contact se trouve à l'infini, la trace du plan est/?y; les points g et/ sont les sommets de l'hyperbole; son centre est au centre de la surface, et ses asymptotes, passant par le point 0 et étant parallèles aux arêtes, se confondent avec ces droites.

(!) M. Bour a fait connaître dans son Cours de Mécanique à l'École Polytechnique, pour l'expression de la variation de longueur d'un segment de droite qui se déplace dans son plan, une expression due à M. Mannheim d'où Ton peut déduire immédiatement la construction que nous indiquons.

Le plan continuant son mouvement, le point de contact de sa trace avec l'hyperbole reparaît de l'autre côté; lorsque ce point est parvenu en S, le plan a pour trace BD; la génératrice AC lui est seule parallèle, et la section, n'ayant qu'une branche infinie, est une parabole.

Quand le point de contact arrive en un point/ de la partie parasite du contour apparent, les génératrices qu'il contient sont imaginaires, ou du moins elles n'ont de réel que le point v où elles se croisent sur la directrice rectiligne. La section conique n'a donc pas d'asymptotes, et par suite elle est une ellipse : l'un des axes est he; le centre est au point c, et l'on détermine facilement la longueur du second axe, car ses extrémités sont sur les deux génératrices dont la commune projection passe par le point c.

Quand la trace du plan est l'asymptote 04Oa, l'ellipse se réduit au segment double IJ de la directrice rectiligne.

Nous avons vu, à l'article 759, que les traces AB et CD des plans des directrices circulaires touchent l'hyperbole de contour apparent : ces cercles appartiennent donc à la série des sections elliptiques dont nous venons de constater l'existence.

Le point i est la projection de deux points où le plan vertical MN touche la surface. Une des génératrices contenues dans le plan passe à chacun de ces points et y coupe l'hyperbole d'intersection.

Les hyperboles contenues dans les plans verticaux parallèles NM et mn sont identiques; il en est de même des ellipses situées dans les plans parallèles eh et i<A|. Les paraboles sections de la surface par les plans verticaux AC et BD sont identiques, mais tournées de sens opposé.

Quand la surface n'a pas d'arêtes (fig. 3a i), sa génération par des coniques présente les mêmes dispositions générales; mais il y a quelques différences de détail à l'étude desquelles nous ne nous arrêterons pas.

772. Ligne de striction. Paramètres des génératrices. Pour déterminer le point central d'une génératrice, on fait passer par cette droite un plan perpendiculaire au plan tangent du cône directeur le long de la génératrice parallèle, et l'on cherche son point de contact. Le paramètre est la distance du point central au point de contact d'un plan passant par la génératrice et incliné à 45° sur le plan central (art. 623 et 721).

Si l'on opère simultanément sur les quatre génératrices d'un groupe, les constructions présentent des symétries qui montrent d'une manière évidente : i° que le plan horizontal est un plan principal de la ligne de striction; 2° que cette courbe a un centre qui est le centre de la surface; 3° que les paramètres des quatre génératrices d'un groupe ont des grandeurs absolues égales. Il est d'ailleurs facile de reconnaître que dans un groupe deux génératrices qui se rencontrent ont des paramètres de signes contraires.

La ligne de striction passe à chaque sommet et y a nécessairement un rebrous-