CHAPITRE V. — SURFACES QUI N'ONT PAS DE PLAN DIRECTEUR

sèment, parce qu'elle est divisée en deux parties symétriques par le plan horizontal qui est plan de rebroussement. La ligne de striction du conoïde droit présente une disposition analogue, car on doit la considérer comme ayant à chaque sommet un rebroussement dont les bras sont superposés.

773. Pour une arête comme pour toute autre génératrice, le plan central est perpendiculaire au plan tangent du cône directeur le long de la génératrice parallèle; on peut donc facilement le construire et déterminer ensuite l'angle 6' sous lequel il rencontre le plan tangent à la surface le long de l'arête.

Le cône directeur étant placé de manière à avoir son sommet au centre de la surface {fig. 3ao), l'arête est une de ses génératrices; les deux plans tangents le long de cette droite, l'un à la surface et l'autre au cône, ont pour équations

rx — \ja2 — r2.z = o,

i(2r* — - a2)x -t- a(a7 — r2)^ — 2br\]a2 — r2.z = o.

L'angle que comprennent ces plans est complémentaire de 0'. On trouve, d'après cela,

tango' = , .

Aucun des paramètres a, b et r ne peut être nul, et d'ailleurs a est plus grand que r, car sans cela la surface n'aurait pas d'arêtes. Il résulte de là que la tangente de ô' n'est jamais nulle ni infinie, et que le plan tangent le long d'une arête ne peut pas se confondre avec le plan central de cette génératrice ni lui être perpendiculaire. Les arêtes du biais passé appartiennent donc au même genre que celles du conoïde oblique (art. 677), c'est-à-dire que leur point central est à l'infini et que leur paramètre est infini. Nous aurions pu arriver à ce résultat en déterminant les expressions analytiques du paramètre d'une génératrice et de l'ordonnée de son point central; mais ces formules n'offrent pas assez d'intérêt pour que nous nous arrêtions à leur recherche.

774. Quand a est plus grand que r {fig. 3ao), le paramètre change de signe aux arêtes et aux génératrices situées dans le plan horizontal. Lorsque a est plus petit que r {fig. 3a i), le paramètre ne change de signe qu'à ces génératrices, c'està-dire en passant par zéro; il a donc un maximum positif et un maximum négatif. Mais ses valeurs absolues étant égales pour les génératrices d'un même groupe, il doit atteindre son maximum dans le groupe simple formé par les génératrices (OaO,f P) et (020«, P«); il est positif pour la première de ces droites et négatif pour la seconde.

On voit d'après cela qu'un paramètre maximum n'indique pas nécessairement une arête, comme on aurait pu le supposer par l'exemple du cylindroïde.

222 LIVRE Vil. — SURFACES GAUCHES.

Déformation des sur/aces gauches (').

775. L'étude des différentes formes que peut prendre une surface donnée lorsqu'on la suppose flexible et inextensible est, en général, un problème difficile; mais il se simplifie beaucoup pour les surfaces gauches lorsqu'on exige que les génératrices restent droites. D'après cette condition, la déformation ne peut résulter que de plis faits le long des génératrices. Une génératrice G' tourne autour de la génératrice voisine 6 en décrivant une aire qui appartient à un hyperboloïde de révolution. La position relative des génératrices 6 et G' n'est pas modifiée, et par conséquent la valeur du paramètre de distribution de G n'éprouve pas d'altération, et le point central reste le même.

776. En se reportant à layîg\ 1 1 1, on reconnaîtra facilement que, si Ton fait tourner d'un même angle la génératrice (ae, a! ë) d'un hyperboloïde de révolution et la génératrice correspondante (aO, af ë) de son cône directeur, ces droites resteront parallèles. L'angle de rotation pour l'hyperboloide est celui que décrit une droite {pQ,pfi) abaissée d'un point quelconque de la génératrice sur l'axe. On peut, d'après cela, assujettir la déformation d'une surface gauche à celle de son cône directeur.

Considérons deux génératrices consécutives G et G' de la surface, et leurs parai* lèles g et g* sur le cône : si les droites g' et G' tournent respectivement autour de g- et de G d'angles égaux, elles seront encore parallèles, et, comme un cône peut être appliqué sur un autre cône quelconque et sur un plan, on voit quil est toujours possible de déformer une surface gauche de manière à rendre ses génératrices parallèles à celles d'un cône donné ou à un plan.

L'angle infiniment petit dont la génératrice G' a tourné autour de G est celui qui est décrit par toutes les droites infiniment courtes abaissées des points de G' sur G ; donc, quand on déforme une surface gauche, l'angle de contingence de toutes les sections perpendiculaires à une même génératrice varie précisément de la quantité dont on augmente ou dont on diminue l'angle de contingence correspondant du cône directeur.

(*) La question de la déformation des surfaces gauches a été étudiée successivement par MM. Minding, 0. Bonnet et Bour. Nous ne donnons ici qu'une indication de cette importante théorie.