III. — Dk la Goir.nekie. — Descriptive . b
\ TABLE DES MATIÈRES
Pages. Articles.
Hyporboloïdo oscillateur 798-799
Cas où l'un des rayons principaux est infini, — Indicatrice formée de deux
droites parallèles 800-802
Quand un plan toucho une surface le long dune courbe, la ligne de contact est tangente, on chacun do ses points, à une section principale ayant un rayon
do courburo infini 803
Quand une courbe tracée sur une surface est tangente, en chacun de ses points, à une seclion principale ayant un rayon de courbure infini, elle est une ligne
do contact de la surface avec un plan 80i
Une surfaco estdéveloppable quand elle a en chacun de ses points un de ses
deux rayons do courburo infini 805
Cylindre oscillateur 806
Cas' où les deux rayons principaux sont infinis 807
Cas où l'un des ray ons principaux est nul • 808
Constructions diverses relatives aux rayons de courburo des sections normales 19
Construction du rayon de courbure d'uno section normale. — Courbe d'Euler. 809
Détermination des sections principales et de leurs rayons 810
Grandeur de la déviation. — Paramètres de déviation. — Axes de déviation 9.1
Expression analytique do la déviation 811
Paramètres do déviation. Indicatrice de ces paramètres 812-813
Axes de déviation 814
Courbure des sections obliques et do la section par le plan tangent 1 \
Théorcmo de Meusnier 815
Courburo do la section par le plan tangent 816-817 a
Quand une courbe tracée sur une surface a, en .un point, un contact du premier ordre avec une asymptote de l'indicatrice, son plan oscillateur en ce
point est tangent à la surface 818
Grandeur du rayon de courbure de la transforméo d'une courbe tracée sur
une surface dévoloppable, déduite du théorème de Meusnier 819
Définition des lignes do courbure et des lignes asymptotiques 3o 820
Notions sur la courbure des surfaces do révolution 3i
Plans principaux, rayons principaux 821
Asymptotes de l'indicatrice 822
Surface lieu des asymptotes de l'indicatrice aux divers points d'un méridien. 823
Notions sur la courbure des* surfaces gauches 3?.
Toute surface gauche est ù courbures opposées 82 i
Les secondes asymptotes des indicatrices d'une surface gauche aux différents
points dune génératrice forment un hyperboloïde 825
Formule donnant le produit des rayons do courbure principaux en un point. 826
Quand deux surfaces gauches so raccordent le long d'uno génératrice, elles
ont en général deux points d'osculation 827
Lignes d'ombre d'une surface gauche quand le point lumineux ost dans le plan tangent le long dune génératrice singulière. — Rayons de courbure de la surface aux
divers points de cette droite 35
Quelle que soit la position du point lumineux dans le plan langent le long d'une génératrice singulière, mais non sur elle, la ligne d'ombre passe
par un môme point de cette droite 82S-831
Le point d'une génératrice singulière où passent les lignes d'ombre, quand les points lumineux sont dans le plan tangent le long de cette droite, est précisément celui qui appartient à l'intersection de la surface par ce plan tangent 832
TABLE DES MATIÈRES. \l
Pages. Articles.
Application de ce théorème à la surface du biais passé 833
Quand le point lumineux est sur la génératrice singulière, le point de la courbe d'ombre et le sommet do la surface sont conjugués harmoniques du point lumineux et du point où la génératrice rencontre l'intersection do la surface par son plan tangent 83 i
Une génératrice rectiligne appartient deux fois à la courbe d'ombre quand elle contient le point lumineux, et quand un môme plan est tangent à la surface? en tous ses points 83.v>
Quand une surface gauche a un sommet à distanco finie, elle est touchée par sa développable asymptote tout le long de la génératrice qui passe à ce point. . 836
Les centres do courbure des sections faites dans une surfaco gaucho par des plans perpendiculaires à une génératrice singulière ont pour lieu une hyperbole. . 837
Le plan tangent à une surfaco gauche le long d'une génératrice singulière est osculatcur au point où so rencontrent les lignes suivant lesquelles il coupe et il touche la surfaco 838
Quand la surfaco est un conoïrie, l'hyperbole lieu dos centres de courbure des sections faites par des plans perpendiculaires à une génératrice singulière devient une parabole 83!)
Cas où l'hyperbolo se réduit à deux droites 8i0
Cas où la génératrice singulière de la surface gauche est une arête 8 il
Lorsqu'une surfaco gauche possède une arête ayant un paramètre fini, elle est osçulée par un cylindre le long de cette droite 842
Vérification de ce théorème sur le cylindroïdo 8 43
Construction de l'hyperbole lieu des centres do courbure aux divers points
d'une génératrice singulière 8 i i
Surfaces gauches lieux de normales à une surface \ j
Si Ton élève à une génératrice d'une surface gauche et par son point central une perpendiculaire égale au paramètre de distribution, l'angle sous lequel on voit, do Toxlrémité do cette droite, un segment quelconque de la génératrice, est égal à l'angle quo comprennent les plans tangents a la surfaco aux deux extrémités du segment 8 43
Un point quelconque d'une génératrico étant pris pour origine, on peut tracer une droite auxiliairo telle que l'angle compris entre les rayons vecteurs de deux des points de cette ligne soit égal à l'angle formé par les plans tangents aux points de la génératrico qui sont leurs projections 816
L'ordonnée à l'origine do la droite auxiliaire est moyenne proportionnelle entre les grandeurs absolues des rayons do courbure principaux de la surface, à l'origine 8 47
Divers usages de la droite auxiliaire 848
Construction de la droite auxiliaire pour une génératrice d'une surfaco gauche lieu de normales 849
Le centre do courbure do la section normale tangente à la directrice est le point où le plan do cotte section coupe normalement la surfaco gauche 850
La grandeur absolue du produit des rayons de courbure de la surface des normales on un point de son intersoction avec la surface directrice est égale au carré du paramètre de déviation qui correspond à l'azimut de cette courbe. . 831
La tangente à la trace de la surface des normales et la trace du plan central d'une de ses génératrices, sur le plan tangent à la surface directrice, sont deux diamètres conjugués do l'indicatrice de cette dernière 854
Construction du rayon do courbure d'une section normale, du paramètre de déviation et de l'azimut d'une droite conjuguée à une tangente donnée 833
\IÏ TABLE DES MATIERES
Pages. Articles.
Variation du point central et du paramètre d'une génératrice normale à une
surface, suivant l'azimut do la courbe directrice. • 834
Le produit des rayons do courbure principaux de la surface gauche, au point
où la génératrice normale rencontre les axes do déviation, est indépendant
do l'azimut de la directrice 8.V>
Quand la directrice est une asymptotique, c'est aussi la ligne de striction de
la surface gauche lieu des normales 836
Cas où le point considéré do la surface directrice ost un ombilic. Cas où cette
surface ost développablo 837
La somme des inverses des ordonnées du point central de la génératrice pour
deux directions conjugées de la directrice est constante, et égale à la somme
dos courbures principales 8.%>8
