CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES. l

encore quand les constructions ordinaires ne sont pas applicables, par suite d'une disposition particulière des données par rapport aux plans de projection.

Construire F intersection de deux plans parallèles à la ligne de terre.

Les plans que bous considérons sont (P, P') et (Q, Q') {fig. 29). Leurs traces ne se rencontrant pas, nous n'avons immédiatement aucun point de la ligne cherchée; nous voyons seulement qu'elle est parallèle aux traces des plans, et, par suite, à la ligne de terre.

Nous prenons un plan auxiliaire perpendiculaire aux deux plans de projection ; ses traces sont des droites perpendiculaires à la ligne de terre, menées par un même point x de cette ligne; en le rabattant sur le plan horizontal, nous amenons les points m et n en /n, el/i,, et les nouvelles traces des plans donnés sont les lignes rmt, snt qui se coupent en E.

On trouve facilement les points e et e' où se projette le point E quand on relève le plan, et l'on peut tracer les droites G et G', projections de l'intersection.

Nous aurions pu résoudre le problème sans faire de rabattement, en déterminant les intersections des plans donnés par un plan auxiliaire quelconque; ces lignes se coupent en un point de la droite cherchée.

37. Quand un plan contient la ligne de terre, ses deux traces se confondent avec elle, et ne suffisent plus à le déterminer. Il faut alors que l'on connaisse un de ses points, ou les angles qu'il forme avec les plans coordonnés; mais les constructions ordinaires ne peuvent pas être appliquées a un plan ainsi représenté, et il faut recourir à quelque artifice, tel que l'emploi d'un plan auxiliaire de projection.

Déterminer V intersection d9un plan quelconque avec un plan passant par la ligne de terre et faisant un angle donné avec le plan horizontal.

Soit (P, P') le plan donné {fig. 3o). Nous prenons un plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre, et nous le rabattons sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace xz. La nouvelle trace de (P, P") est a, b; la trace du second plan passe par le point x, et fait avec a; Y l'angle donné. Nous pouvons donc tracer cette ligne xi; elle nous fait connaître un point E de l'intersection; les projections e et ë doivent être jointes au point g commun aux deux plans. La droite cherchée est donc (ge, ge').

38. On pourrait opérer de la même manière quand la position du plan qui passe par la ligne de terre est déterminée par un de ses points (m, m') (fig. 3i), mais alors il est aussi simple de couper les deux plans par le plan horizontal qui contient le point donné. Les intersections (bcf xj) et {mif xy) se rencontrent en un point (e, ef) qui appartient a la droite cherchée.

39. Déterminer le point d'intersection d'un plan quelconque (P, P') avec une droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre , et donnée par deux de ses vomts (a, a') et (b, b') {fig. 3a).

l4 LIVRE lw. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Nous rabattons sur le plan vertical le plan projetant de la droite; elle prend alors la position AB, et rencontre en M la nouvelle trace rs< du plan donné. Quand on relève le plan auxiliaire, le point cherché vient se projeter en (m, m').

Nous verrons plus loin que Ton emploie quelquefois des plans auxiliaires de projection qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne de terre.

Droites et plans perpendiculaires.

40. Quand une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan.

Soient Pie plan de projection (fig. 33) et MNune droite perpendiculaire à un plan Q.

Le plan passant par MN et par la projetante Mm de l'un quelconque des points de cette ligne est perpendiculaire à chacun des deux plans P et Q, et, par suite, à leur intersection AB. Réciproquement AB est perpendiculaire à toutes les lignes du plan m MN, et notamment à sa trace mG, projection de MN.

Quand la projection mG d'une droite est perpendiculaire a la trace AB d'un plan Q, ce plan est perpendiculaire au plan projetant, mais non pas nécessairement à la droite. Si cependant les projections de la droite étaient respectivement perpendiculaires aux traces du plan sur deux plans coordonnés, les deux plans projetants étant perpendiculaires au plan considéré, la droite, qui est leur intersection, serait perpendiculaire à ce plan.

41 . Mener par un point un plan perpendiculaire à une droite.

Soient (a, a') le point et (D, D') la droite {Jig. 34). La trace horizontale du plan cherché est perpendiculaire à la projection D (art. 40). La ligne dont les projections sont les droites ah perpendiculaire à D et a! b' parallèle à la ligne de terre est donc parallèle à la trace horizontale du plan, et comme elle passe par le point (a, d) qui doit être dans le plan, elle s'y trouve tout entière. La trace verticale V appartient donc à la trace verticale du plan. Les droites b' g et ge9 respectivement perpendiculaires à D' et à D, seront les traces du plan cherché.

Il est évident que l'on pourrait également faire la construction en menant par le point (a, a') une parallèle à la trace verticale du plan.

Sur la figure 34 nous avons résolu le problème Rabaisser d'un point (a, a') une perpendiculaire sur unedroite (D, D'). La détermination du plan qui passe par (a, a') et qui est perpendiculaire à (D, D') forme la première partie de la solution ; il faut ensuite chercher le point (m, m!) où la droite indéfinie perce le plan (art. 30 et 51) et le joindre au point donné.

La véritable grandeur de la droite (am, a'm!) est la distance du point (a, a?) à la droite (D, D*).

42. Si la droite donnée est dans un plan perpendiculaire à la ligne de terra»