Trouver le point où une droite perce un plan

Il faut faire passer un plan par la droite, chercher son intersection avec le plan donné, et prendre le point où cette ligne rencontre la droite donnée.

Soient (D, D') la droite {fig. 26) et (P, P') le plan. On détermine les traces a et V de (D, D') ; en les joignant à un point quelconque g de la ligne de terre, on a un plan (ag9 gb') qui contient la droite. Son intersection avec le plan donné est une ligne (cdf & d1) qui rencontre la droite donnée au point cherché (m, m').

31. On peut simplifier le tracé en prenant pour plan auxiliaire l'un des deux plans projetants de la droite, par exemple celui qui est vertical; ses traces sont D et aa! {fig. 27); il coupe le plan (P, V) suivant la droite (D, a'V). L'intersection de a! b' avec D' donne la projection verticale m' du point cherché; on en déduit la projection horizontale ml

Si l'on veut avoir une vérification, on emploiera comme plan auxiliaire celui qui projette la droite sur le plan vertical. La construction est faite sur la figure.

Nous avons ponctué lesfigures 26 et 27, en supposant que le plan formait la face supérieure d'un polyèdre, et, par conséquent, que la droite devenait invisible au delà du point (m, m').

Projections auxiliaires.

32. Quand Tune des projections d'une droite est perpendiculaire à la ligne de terre, le plan projetant correspondant est perpendiculaire à cette ligne, et, par suite, au deuxième plan de projection; ses deux traces, qui sur le dessin ne forment qu'une seule droite, sont alors les projections de la ligne.

La connaissance de l'une des projections de la droite suffit dans ce cas pour que l'on ait immédiatement l'autre; mais la droite elle-même peut avoir une position quelconque dans le plan perpendiculaire à la ligne de terre qui les contient. On peut déterminer la droite en donnant les projections de deux de ses points, mais ce mode de représentation ne se prête pas immédiatement aux constructions de la géométrie descriptive.

D'ailleurs, si plusieurs droites importantes se trouvaient dans un même plan perpendiculaire à la ligne de terre, cette manière de les définir présenterait un peu de confusion et ne ferait pas ressortir la forme des figures. Pour ces divers motifs, on emploie généralement un plan auxiliaire de projection; on le prend le plus souvent perpendiculaire aux deux autres, et on le rabat sur un des deux premiers plans de projection, en le faisant tourner autour de sa trace sur ce plan.

13 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

53. Les ligues de la petite façade de gauche de la maison dessinée sur la planche /sont toutes 'projetées sur les droites eg, j'y'; pour qu'elles soient déterminées et représentées d'une manière distincte, nous allons les projeter sur le plan dont les traces sont les droites X, Y et YZ,, perpendiculaires à XY. Nous supposons que Ton a rabattu ce plan sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace X, Y, qui forme une nouvelle ligne de terre.

Pour avoir sur ce nouveau plan la projection a" d'un point (a, a'), on remarque que les projections a et a" doivent être sur une même perpendiculaire à la ligne de terre X, Y, et que les hauteurs a, a" et a0 a! indiquent l'une et l'autre l'élévation du point de l'espace au-dessus du plan horizontal, et sont, par conséquent, égales.

La droite qui projette le point [a, a!) sur le plan vertical en ci a pour projection sur le plan auxiliaire une horizontale qui perce le premier plan vertical en d. Dans le rabattement, cette droite tourne autour de la ligne de terre X, Y en lui restant toujours parallèle; son point d décrit Tare ddi9 et elle se place en dt a".

Tous les détails de la petite façade sont dessinés sur la figure 3 qui est une nouvelle projection verticale.

34. La figure 4 est une projection de la maison faite sur un plan auxiliaire parallèle à celui de h figure 3, mais rabattu sur le plan vertical par une rotation autour de sa trace XZ. La projection b" d'un point {b,b') est sur la droite b' bt perpendiculaire à la nouvelle ligne de terre XZ, et à une distance b% b" égale à b0b. Si l'on projette le point b en/sur XY,, et qu'on ramène/ en f0 par un arc de cercle autour du point X, le point 6" sera sur la verticale de/0.

La figure 9 est par rapport à h figure 8 une projection auxiliaire faite sur un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et rabattue sur le plan vertical. La figure 9 bis est également une projection auxiliaire pour h figure 8 bis.

35. Nous pouvons maintenant résoudre les problèmes qui se rapportent aux figures situées dans des plans perpendiculaires a la ligne de terre.

Déterminer les traces d'une droite qui passe par deux points donnes dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre.

Les points sont (m, ni) et (n, ri) (fig. 28). Nous rabattons sur le plan horizontal le plan (xnf xrri) qui les contient. Le point (m, ni) décrit alors un arc de cercle qui a son centre au point m et vient se placer en un point M, sur une perpendiculaire mM à xn, et à une distance de cette ligne égale à la hauteur du point qui est donné en vraie grandeur sur le plan vertical par la ligne xrri. On trouve de la même manière la position N du point (nfri) rabattu. On trace la ligne MN rabattement de la droite considérée : sa trace horizontale est e; sa trace verticale est le point c, dont on obtient la véritable position d en relevant le plan qui contient la droite.

36. On emploie un plan auxiliaire de projection, non-seulement pour représenter les figures situées dans des plans perpendiculaires à la ligne de terre, mais