Déterminer la distance d'un point à un plan

Il faut abaisser du point une perpendiculaire sur le plan, et trouver sa longueur.

Soient (P, P') le plan ( fig. 36) et (a, a') le point; la perpendiculaire a pour projections les droites ab et a'b' respectivement perpendiculaires aux traces P et P'; elle rencontre le plan au point (b9 b') (art. 31), et en faisant tourner autour de la verticale de ce point le plan qui la projette sur le plan horizontal, jusqu'à le rendre parallèle au plan vertical, on détermine la longueur b'di de la droite (ab9a!bf) (art. 16).

44. Par une droite donnée /cure passer un plan perpendiculaire à un plan donné.

Soient (P, P') le plan (fig. 37) et (D, D') la droite. D'un point (a, a!) pris arbitrairement sur cette ligne nous abaissons une perpendiculaire (ab, a'b') sur le plan (art, 43), et nous déterminons le plan (bg9 de1) qui passe par cette ligne et par la droite donnée (D, D') (art. 19).

45. Par un point donné faire passer un plan perpendiculaire à deux plans.

Il suffit de déterminer l'intersection de deux plans donnés (art. 25), et de mener par le point donné un plan perpendiculaire à cette droite (art. 41). Souvent, pour rendre les tracés commodes, on devra transporter les plans parallèlement à euxmêmes.

On peut encore abaisser du point donné des perpendiculaires sur les plans (art. 40), et faire passer un plan par ces droites (art. 19).

Angles de droites et de plans.

46. Quand deux droites sont à angle droit, leurs projections sur un plan parallèle à tune d'elles sont à angle droit.

Considérons d'abord deux droites AC et BD (fig. 38) rectangulaires entre elles et parallèles au plan de projection P. Leurs projections ac et bd sont à angle droit, car si l'on joint deux points G et D, le triangle BCD et sa projection dbc auront leurs côtés égaux comme côtés opposés de parallélogrammes, et cette égalité entraine celle des angles B et b.

l6 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

En général, la projection n'altère pas la forme des figures situées dans des plans parallèles à celui sur lequel on les projette.

Supposons maintenant que la droite BD tourne autour du point B en restant perpendiculaire à AC; elle prendra différentes positions BD<,BD2,... dans le même plan projetant BD bd qui est perpendiculaire à AC, parce qu'il contient les droites BD et Bb qui rencontrent cette ligne à angle droit. Toutes les droites perpendiculaires à AC auront donc pour projection la ligne bd perpendiculaire a ac.