Déterminer l'angle de deux droites

Soient (D, D') et (G, G') {fig. 39) deux droites qui se rencontrent en un point (a, a'). Pour avoir l'angle qu'elles forment, il suffit de rabattre leur plan sur l'un des deux plans de projection, par exemple, sur le plan horizontal.

Les traces des droites considérées sont les points b et c, et par suite la ligne bc est la trace de leur plan. La perpendiculaire abaissée du point (a, a') sur bc se projette sur la droite ae perpendiculaire a cette ligne (art. 46).

Quand le plan des deux droites a été rabattu sur le plan horizontal par une rotation autour de bc, la perpendiculaire qui était projetée sur ea se trouve placée dans la direction de cette ligne, et en portant sa véritable grandeur de e en A, nous avons à ce dernier point la position du rabattement du point. (a, a'). Gomme d'ailleurs les points b et c sont fixes, l'angle b Ac est l'angle cherché. Dans un problème d'application, il pourrait y avoir lieu de prendre son supplément.

Nous avons obtenu la véritable grandeur de la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle sur la trace du plan, en portant la longueur ae de sa projection horizontale sur la ligne de terre de aQ en e0, et traçant a'e0 (art. 16).

Nous aurions pu déterminer la position du point A, en cherchant les longueurs des droites bk et cA, mais la construction eût été un peu plus longue.

On considère quelquefois l'angle de deux droites qui ne se rencontrent pas; c'est l'angle que forment deux parallèles à ces lignes menées par un point quelconque.

48. Lorsque sur chaque plan de projection la trace de l'une des droites se trouve hors du cadre de la figure, il faut rabattre le plan des droites sur un plan parallèle à l'un des deux plans de projection, et choisi de manière que ses intersections avec les droites considérées puissent être utilisées.

Sur h figure l\o ce plan auxiliaire est horizontal et a pour trace verticale X, Y,. Les droites (D,D') et (G, G') le rencontrent aux points (b9 b1) et {c, c'). On fait tourner le plan de ces lignes autour de la droite (bc9 b'c') jusqu'à ce qu'il soit dans le plan horizontal X,Y, : les tracés sont ensuite les mêmes que ceux de h figure 39*

49. On peut expliquer la construction que nous venons d'exposer, en supposant que la ligne de terre ait été transportée en X, Y,. Le plan horizontal s'est ainsi trouvé élevé de la hauteur de b0b' et le plan vertical reculé de la même quantité. Ces translations ne modifient évidemment en rien ni les projections de la figure de l'espace ni leur position relative.