Déterminer V angle de deux plans

Considérons d'abord dans l'espace deux plans dont les traces sur un plan fixe H sont aP et aQ {fig. 48a) et qui se coupent suivant la ligne aB dont la projection est ab : si par un point gK de aB, et dans les deux plans, on conçoit les droites gtmet gtn perpendiculaires à aB, l'angle mg{ n mesurera le dièdre compris entre les plans, et la construction du triangle mg{n fera connaître ce dièdre.

Le plan mgt n étant perpendiculaire k aB, sa trace mn est perpendiculaire à ab (art. 40), et par suite au plan projetant ôaB, et à la droite rgK qui y est contenue. La ligne rg% est aussi perpendiculaire k aB, parce qu'elle se trouve dans le plan mg{n. Cette circonstance permet de déterminer la hauteur rgK du triangle mgtnf dont la base mn se trouve sur le plan H.

Soient maintenant (P, P') et (Q, Q') les plans donnés {fig. 44 et 44 bis). La droite ba est la projection horizontale de leur intersection. Une droite mn perpendiculaire k ba peut être considérée comme la trace d'un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans donnés.

Ce plan auxiliaire coupe les plans (P, P') et (Q, Q') suivant deux droites qui comprennent l'angle cherché et qui forment un triangle avec la ligne mn. En faisant tourner ce triangle autour de mn, le sommet décrit un arc de cercle dans le plan vertical {ab, bb') perpendiculaire à mn, et vient se placer sur ra en un certain point g qu'il s agit de déterminer.

La ligne reconsidérée dans l'espace, avant son rabattement, est perpendiculaire a l'intersection des plans donnés, parce qu'elle est dans le plan auxiliaire. D'après cela nous obtiendrons facilement sa longueur en rabattant le plan vertical [ab, bb') sur l'un des plans de projection. Si nous choisissons le plan vertical, les points r et a se transportent en ri et a,, l'intersection des plans se place en b'alfet la perpendiculaire r, gK est la longueur qu'il faut porter sur la ligne ra9 à partir du point r pour avoir le point g. L'angle cherché est mgn.

Si les deux plans ont leurs traces parallèles sur un des plans coordonnés, par exemple, sur le plan horizontal {fig. 46), leur intersection sera horizontale et parallèle aux traces; le plan auxiliaire deviendra vertical, et la hauteur rg du triangle mng sera égale à la projetante bb'.

57. L'intersection aB {fig. 48a) est perpendiculaire à toutes les lignes du plan mgKn. Si donc nous rabattons le plan (P, P') {fig. 44) sur le plan horizontal, il suffira d'abaisser du point m une perpendiculaire sur le rabattement de l'intersection, pour avoir la longueur du côté mg du triangle mgn.

Traçons du point b la ligne bi perpendiculaire à P. La droite qui va dans l'espace du point If du plan vertical au point i du plan horizontal est l'hypoténuse

20 LIVRE Ier. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

d'un triangle rectangle dont les côtés sont W et bi; sa longueur est b'it ; elle rencontre perpendiculairement en i la trace P, et par suite, quand le plan tourne autour delà droiteP, le point (b, b') vient se placer sur le prolongement de bi9 en un point B, à une- distance iB égale à bf i{. Le rabattement de l'intersection est donc aB; il n'y a plus pour avoir le point g qu'à abaisser la perpendiculaire mG, et à ramener le point G sur la ligne ra par un arc de cercle ayant son centre en m.

Cette construction est un peu moins simple que la précédente; mais elle deviendrait plus facile si, pour des constructions antérieures, l'un des plans donnés avait déjà été rabattu.

On peut encore résoudre le problème en abaissant des perpendiculaires sur les plans d'un point pris dans l'intérieur de l'angle que l'on veut connaître, et en construisant l'angle de ces lignes qui est supplémentaire de celui que l'on cherche. En prenant le point sur l'un des plans de projection, dans une position convenable par rapport aux traces, on sera assuré qu'il se trouve dans le dièdre que l'on considère.

58. Déterminer l 'angle que forme un plan avec le plan horizontal.

Soit (P, P') le plan {Jig. 48). Par un point quelconque g de P, concevons un plan vertical perpendiculaire à P; il coupe le plan horizontal et le plan donné suivant deux droites qui comprennent entre elles l'angle cherché. L'une d'elles est# la perpendiculaire gb à P, l'autre va du point g au point V où la verticale bb\ trace du plan auxiliaire, rencontre la trace P' du plan donné.

Faisons maintenant tourner le plan vertical {bg,bb') autour de bV pour le rabattre sur le plan vertical de projection : le point g va en gK et l'angle cherché est bgh b'.

On opérerait d'une manière analogue pour avoir l'angle du plan avec le plan vertical.

Changement des plans de projection.

59. Il est quelquefois utile d'abandonner les plans coordonnés primitifs, pour en prendre d'autres qui, eu égard à la nature du problème, soient plus convenablement placés par rapport à la figure de l'espace. Il faut alors déterminer les nouvelles projections des lignes données. Nous avons déjà étudié cette question dans des cas simples (art. 32-34); nous allons compléter cette théorie.

Connaissant les projections de divers points sur deux plans coordonnés , trouver leur projection sur un plan vertical quelconque que Von rabat sur le plan horizontal.

Soient (m, m'), (p,p'),...f les points donnés (./?#. 49) > et X, Y, la trace du nouveau plan vertical.

La nouvelle projection m" du point (m, mf) doit être à une distance de la nouvelle ligne de terre X, Y,, égale à la hauteur du point au-dessus du plan horizontal, c'est-à-dire à la distance m0m' de la première projection verticale m' à la première ligne de terre XY. Donc si nous traçons par le point m la perpendiculaire mm% à