CHAPITRE II.— QUESTIONS DIVERSES

Quand une épure contient seulement des projections, la position de la ligne de terre n'a d'utilité que pour k ponctuation; il suffit de connaître sa direction, pour pouvoir résoudre les problèmes relatifs au système géométrique représenté. Ainsi la longueur de la droite (ab9a'b') (fig. 14) est a'b'i9 à quelque hauteur que la ligne de terre soit placée sur la figure. D'après cela, quand sur une épure du genre de celles dont nous parlons, il devient nécessaire de considérer des traces, ainsi que cela a lieu sur la figure 40, on peut mettre la ligne de terre à la hauteur qui paraît la plus convenable pour les constructions.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces notions, mais nous avons cru devoir signaler dès à présent le déplacement de la ligne déterre, comme un des procédés les plus simples de la géométrie descriptive, pour maintenir les tracés dans le cadre de l'épure.

50. La figure l\i présente la solution du problème de l'angle de deux droites, quand l'une d'elles est parallèle à l'un des plans de projection.

La droite (D, D') étant parallèle au plan vertical, nous pouvons la prendre pour, axe d'un mouvement de rotation par lequel nous ramènerons le plan des deux droites à être parallèle au plan vertical.

La perpendiculaire abaissée sur la droite (D, D') d'un point {b,b') de la droite (G, G') a pour projections la ligne b' é perpendiculaire à D' (art. 46), et la droite correspondante be. Sa vraie grandeur est l'hypoténuse b'eK du triangle rectangle b'e'e{ dont le côté éeK est égal a la différence ebi des projetantes des deux points (e, e') et (btbf) (art. 14). Portant la longueur e%b' de ef en B', nous obtenons la projection B" du point (6, b') quand le plan des lignes est devenu parallèle au plan vertical. L'angle cherché est B'a'e'.

51. Par un point donné, faire passer une droite qui rencontre une droite donnée sous un angle donné.

Soient (a, a') le point (fig. 43) et (D,D') la droite. Après avoir tracé l'horizontale a'g*f et déterminé ainsi le point (g, gf) situé sur (D, D') a la même hauteur que (a, a'), nous considérons le plan qui contient les droites (D,D') et (agf a' g), et nous le faisons tourner autour de cette dernière ligne de manière k le rendre horizontal. Un point quelconque (b, b') de la droite donnée décrit un arc de cercle dont le centre se projette, sur le plan horizontal, au pied e de la perpendiculaire abaissée du point b sur ag\ le rayon est égal à l'hypoténuse b'eK du triangle rectangle b'bKeK dont le côté b{e% est égal à be (art. 14). Portant donc cette longueur à partir du point e dans la direction eb, et joignant le point B ainsi obtenu au point g qui n'a pas changé, on trouve que la droite est maintenant (Bg9 b^g*). On trace sur le plan horizontal la droite aK faisant avec B^K l'angle donné; quand on relève le plan, le point E décrit un arc de cercle qui se projette sur la droite Kk perpendiculaire à l'axe ag9 et s'arrête au point k de la droite D. La ligne cherchée est (ak9 a'k'). Le problème admet une seconde solution, si le sens dans lequel l'angle doit être mesuré n'est pas déterminé.

l8 LIVRE lw. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

On peut résoudre par cette construction le problème de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite, déjà examiné à l'article» 41.

On remarquera que sur les figures l\\ et 43 il n'y a pas de traces, mais seulement des projections, et que, conformément aux observations de l'article 49, la position de la ligne de terre n'est utile que pour déterminer la ponctuation ; la hauteur à laquelle elle se trouve n'influe en rien sur les tracés.

52. V angle aigu d'une droite avec sa projection sur un plan est plus petit que les angles aigus formés par la droite avec les autres lignes du plan.

Soient AB la droite considérée (fig. 4^), kb sa projection sur un plan P, et kc une droite du plan.

Prenons des longueurs égales kb et kc, élevons bB perpendiculaire au plan, et joignons le point B au point c.

Les triangles Bkb et BAc ont deux côtés respectivement égaux, et le troisième côté Bb du premier est plus petit que le côté correspondant Bc du second, parce que ces droites abaissées d'un même point sur un plan sont Tune perpendiculaire et l'autre oblique. D'après cela l'angle Bkb est plus petit que BAc, ce qui démontre le théorème énoncé.

Si nous considérons les angles supplémentaires de ceux que nous venons d'examiner, nous verrons que Bke est plus grand que BAi, et par suite que tous les angles obtus formés par AB avec les diverses lignes du plan.

Une droite est perpendiculaire à un plan quand elle Test à sa projection sur ce plan; elle est couchée dans le plan quand elle se confond avec sa projection. D'après cela, on voit que l'angle d'une droite avec sa projection sur un plan fait bien comprendre la position de cette ligne par rapport au plan; on dit que c'est l'angle formé par la droite avec le plan.

53. Construire les angles d'une droite avec les plans de projection.

Il faut déterminer les angles de la droite avec ses projections, en rabattant successivement ses deux plans projetants* comme nous l'avons déjà fait pour trouver la distance de deux points (art. ïbtfig. ra).

54. Construire la projection verticale d'une droite, connaissant un de ses points (a, a!) (fig. 45)» sa projection ab sur le plan horizontal, et V angle qu'elle fait avec ce plan.

En faisant l'angle baB égal à l'angle donné, on a la projection de la droite lorsque son plan projetant a été rabattu sur le plan horizontal X,Y, qui contient le point (a, a'). Une droite bB perpendiculaire à ab fait connaître la hauteur b%b' à laquelle le point rabattu en B est placé, dans l'espace, au-dessus de X,Y«.