Nous allons maintenant examiner le cas général

Connaissant les projections d'un point sur deux plans coordonnés, trouver ses projections sur deux plans rectangulaires que l'on rabat sur les premiers.

Soient (m, m') le point (Jig. 47 )> (P, P') un des nouveaux pians et (A, A') son intersection avec le second plan.

Nous rabattons le plan (P, P') sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace P, et nous allons chercher d'abord où se place la droite (A, A') qui doit être notre nouvelle ligne de terre X, Y, .

Nous prenons un plan (xy, aa') vertical et perpendiculaire à la trace P, et nous le rabattons sur le plan horizontal. Un point quelconque (r, r') de (A, A') se projette sur ce plan auxiliaire en un point r" situé à la même hauteur au-dessus de xy que f l'est au-dessus de XY. Lorsque nous faisons tourner le plan (P, P') autour de P, le point (r, r") décrit un arc de cercle et se place en r{. Le point h de la droite (A, A') n'a pas changé de position, et appartient par suite à notre nouvelle ligne de terre qui est ainsi r, b.

Le plan (P, P') étant perpendiculaire au plan auxiliaire, sa trace P" sur ce plan passe par la projection r" de l'un quelconque de ses points.

Nous obtenons la projection m" du point {m, ni) sur le plan vertical xy en opérant comme pour le point (r, r') ; nous projetons m" sur P" en n, puis, rabattant le plan (Pi P') sur le plan horizontal, nous voyons que la projection se place en nii. La projection sur le second des plans coordonnés est en m\, à une distance deX4 Y, égale à m" n.

Pour bien comprendre ces opérations, on peut supposer que le plan auxiliaire soit transporté parallèlement à lui-mêrtie jusqu'à passer par le point (m, ni) ; c'est la position qu'il faudrait lui donner, si l'on ne cherchait les nouvelles projections que de ce seul point.

Le point mt peut être placé indifféremment d'un côté ou de l'autre de la droite X, Y49 parce que rien ne détermine d'avance le sens du rabattement du second plan sur le premier. Tous les points qui sur le plan auxiliaire sont du même côté de P que ni' devront être sur le nouveau plan de projection du même côté de X, Y, que m\. Une observation analogue doit être faite pour les projections sur le plan (P, P') : un point tel que m, sera placé d'un côté ou de l'autre de la trace P, suivant le sens du rabattement.

M LIVRE l**> — DE8 LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Les nouveaux plans de projection ne sont pas l'un horizontal et l'autre vertical; cependant, dans les questions abstraites, on les désigne souvent par ces expressions» et cela facilite le langage ; mais dans les applications les objets ont des positions déterminées» et Ton cesserait d'être intelligible si Ton appelait horizontales des droites qui sont visiblement inclinées à l'horizon (i).

Pour arriver à nos projections définitives nous avons construit une projection sur un plan perpendiculaire à l'un des anciens plans coordonnés et à l'un des nouveaux. Cette projection intermédiaire est quelquefois utile par elle-même pour la solution du problème.

Nous allons maintenant étudier une question qui nous donnera l'occasion d'appliquer les tracés que nous venons d'expliquer.

61. Déterminer la plus courte distance de deux droites qui ne sont pas dans un même plan.

Nous supposons d'abord qae le plan vertical est parallèle aux deux droites données (A, A') et (B, B') (fig. 49). Les projections verticales se rencontrent nécessairement en un point m\ car sans cela les droites de l'espace seraient parallèles, et par suite dans un même plan.

La droite projetée sur le point m' est évidemment perpendiculaire aux deux lignes et aucune autre sécante ne peut l'être, car sa projection verticale serait perpendiculaire aux deux convergentes A' et B" (art. 46) , ce qui est impossible.

Si l'on se reporte à la construction que nous avons donnée pour avoir la distance de deux points (art. 14), on reconnaîtra que la longueur nm de la perpendiculaire est plus petite que celle des autres droites qui ont leurs extrémités sur les deux lignes données.

Nous voyons donc que, quand deux droites ne sont pas dans un même plan, elles ont une commune perpendiculaire qui mesure leur plus courte distance, et que cette ligne est immédiatement donnée de grandeur et de position quand les deux droites sont parallèles à un des plans de projection.

62. Supposons maintenant que les droites données (A, A") et (B, B") [fig. 49) aient leurs projections horizontales parallèles entre elles, mais non pas à la ligne de terre X, Yf ; pour connaître la grandeur de la plus courte distance, nous n'aurons qu'à mesurer l'écartement des droites A et B; mais si nous voulons avoir la position de la commune perpendiculaire, il faudra prendre un nouveau plan vertical dont la trace XY soit parallèle à A et B, et déterminer les projections A' et B" des droites sur ce plan; leur point de rencontre m' fera trouver sur le plan horizontal la ligne mn qu'on relèvera en m" n".

On eût pu rabattre le plan XY sur le plan vertical X, Y, en le faisant tourner

(1) Là figure 1 ne doit jamais être appelée une projection horizontale, mômo quand on considère la droite XZ comme une ligne cfo terre.