Nous arrivons maintenant au cas général

Les droites données sont (A, A') et (B, B') (fig. 5o). La ligne (B,, B'), menée parallèlement à la seconde par le point (gf g') de la première, détermine avec celle-ci un plan (P, P'). Nous prenons un plan auxiliaire de projection (xy> eef) perpendiculaire au plan horizontal et a (P, P') et nous le rabattons sur le plan horizontal.

Les deux droites (A, A') et (B,, B') ont pour projection sur ce plan une ligne A", trace du plan (P, P') ; la droite (B, B') se projette sur une ligne B" parallèle a la précédente, et qui, par conséquent, peut être déterminée par un seul point, tel que //', projection de la trace horizontale/?.

L'écartement des droites A" etB" donne la distance cherchée (art. 62).

Pour avoir la position de la commune perpendiculaire, il faut prendre un nouveau plan de projection parallèle aux droites et perpendiculaire au plan vertical xy\ ce sera (P, P'). Nous pouvons le rabattre, soit sur le plan auxiliaire en le faisant tourner autour de A", soit sur le plan horizontal par une rotation autour de P; nous avons adopté cette dernière disposition. Opérant comme il a été expliqué à l'article 60, on trouve que les nouvelles projections des droites sont A" et B*. La commune perpendiculaire se projette en m"; nous ramenons cette ligne d'abord en mn9 puis en m' n'.

La projection m" n" sur le plan auxiliaire est perpendiculaire à A" et à B".

Dans le rabattement autour de P, la trace P' va se placer sur la droite qui passerait par les points L et é*9 et par suite le point L est k des distances égales de ë et de e". Ce dernier point est donc sur un arc de cercle décrit du point L comme centre avec Le* pour rayon.

64. Si Tune des droites était verticale, la commune perpendiculaire se projetterait sur le plan horizontal en vraie grandeur, et suivant une ligne perpendiculaire k la projection de la seconde droite. On peut donc résoudre le problème, dans le cas général, en prenant un plan de projection perpendiculaire à Tune des lignes.

Enfin, nous indiquerons deux solutions par les procédés ordinaires, en conservant les plans coordonnés.

i° Un plan P mené par la droite A parallèlement à B (fig. 5oa), et un plan H mené par la droite B perpendiculairement à P, se coupent suivant une ligne M dont l'intersection I avec A est l'une des extrémités de la droite cherchée. Car, si parce point on élève une perpendiculaire P, elle sera perpendiculaire à A, à M, et à la droite B parallèle à M.

2° L'intersection G d'un plan P perpendiculaire à A par un plan Q perpendiculaire à B (fig. 49a) est parallèle à la droite cherchée; l'une des extrémités de

24 LIVRE lw. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

cette ligne est le point I ou la droite A rencontre le plan passant par B et parallèle à G.

Quand les projections de la commune perpendiculaire sont connues, on trouve sa grandeur par les procédés ordinaires (art. 14).