CHAPITRE I. — THEORIE GENERALE

que les valeurs de a qui correspondent a la grandeur OB, de b sont B,MA et (1800 — B4wA) ou H,AM et H, Ara, la droite AH, étant parallèle à AH. Si le point M était sur Tare AG, il faudrait considérer l'angle a comme aigu, et prendre la droite AH2 pour un de ses côtés.

On peut d'ailleurs faire la construction en ordre inverse, et se donner, au lieu du rayon b du cylindre sur lequel l'hélice de gorge est tracée, le pas réduit h ou l'angle a des génératrices avec le plan horizontal. On détermine immédiatement deux quelconques de ces quantités quand la troisième est connue, et l'on a un hélicoïde gauche appartenant à la série générale déterminée par les valeurs Aek et de g. Le cercle OKA donne donc une solution complète du problème (').

Les abscisses des points du cercle les plus éloignés de l'axe OH, et les ordonnées de ceux qui sont le plus loin de l'axe OB, sont les valeurs extrêmes de b et de h. On reconnaît ainsi que le pas réduit h et le rayon b ont l'un et l'autre un maximum positif et un maximum négatif, et l'on a un moyen facile de déterminer les grandeurs de la variable a qui leur correspondent.

Développable asymptote d'un hélicoïde gauche.

966. Considérons deux hélicoïdes gauches ayant un même axe, un même pas, et dans lesquels les génératrices AG et A, G, , parallèles au plan vertical, ont une même projection A'G' (Jîg. 378). Le plan (G, G', G' A'), qui contient ces deux droites et qui est perpendiculaire au plan central de chacune d'elles, touche les deux hélicoïdes au point infiniment éloigné où elles se rencontrent. Si les deux génératrices se transportent d'un même mouvement pour décrire les hélicoïdes, leur plan sera toujours tangent à l'infini à ses surfaces, et par suite elles se raccordent le long d'une hélice tracée sur un cylindre d'un rayon infini.

Il suit de là qu'en faisant varier le rayon de l'hélice de gorge d'un hélicoïde gauche, on peut obtenir une série d'hélicoïdes réglés, tous asymptotes les uns des autres; mais l'un d'eux est développable, car, lorsque le rayon variable est égal a la longueur r déterminée par l'équation

r= A cota,

la génératrice, qui fait toujours avec le plan horizontal l'angle a, est tangente à l'hélice de gorge. Cet hélicoïde est la développable asymptote de tous les autres.

On peut obtenir le rayon r par une construction analogue à celle qui est expliquée a la fin de l'art. 955.

(*) Cette construction élégante a été donnée par Bour dans son Mémoire sur la déformation des surfaces.

Hélices doubles de Vhélicoïde réglé.

967. Soient BC et B,C, (Jig. 385) les projections horizontales de deux génératrices, et 2i l'angle AOA, : la hauteur du point A, au-dessus du point A est 2tA; le point I, considéré comme appartenant à la droite BC, est élevé au-dessus du point A d'une quantité itangrtanga, bet a désignant, comme précédemment, la distance de la génératrice à l'axe et son angle avec le plan horizontal. Il suit de là que si l'on a

th — b tangt tanga = o,

les deux génératrices BC et B, C, se couperont dans l'espace.

On peut déterminer graphiquement les valeurs de t qui satisfont à cette condition, en cherchant les points de rencontre des courbes représentées par les équations

p = tA, p = tangr tanga,

p et t étant des coordonnées polaires ou des coordonnées rectilignes. Il y a une infinité de solutions.

On peut supposer que la droite BC et les diverses génératrices qu'elle rencontre sont entraînées dans l'espace d'un même mouvement hélicoïde, de manière qu'elles décrivent toutes la surface; le point I et les autres points de rencontre engendreront alors des hélices doubles. On voit ainsi que les nappes de la surface se coupent suivant une série indéfinie d'hélices.