CHAPITRE II. - HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE
(Ggy &'g), (Bé, B'b') parallèles au plan vertical, et une troisième (Ee, EV) dans une situation quelconque.
Nous savons construire le cône directeur d'un hélicoïde réglé, et par conséquent nous pourrons déterminer les plans tangents à un hélicoïde développable, et les asymptotes des branches infinies de ses sections planes (art. 470). Nous allons examiner successivement ces problèmes.
Plans tangents.
969. Le plan tangent à un hélicoïde développable en un point quelconque (n, n') (Jîg. 379) est tangent tout le long de la génératrice (Ee, EV) qui passe en ce point; sa trace lt est donc tangente en e à la développante du cercle trace de la surface, et par suite perpendiculaire à la droite Ee. Il résulte de la qu'une génératrice est la ligne de plus grande pente du plan tangent qui la contient, et que tous les plans tangents font avec le plan horizontal des angles égaux à celui des génératrices avec ce plan. La surface est donc d'égale pente. Nous aurions pu arriver immédiatement à ce résultat en remarquant que le cône directeur est de révolution.
970. Proposons-nous maintenant de mènera un hélicoïde développable un plan tangent par un point non situé sur la surface.
Nous nous donnons l'hélicoïde par la projection horizontale ABC.de l'arête de rebroussement {Jig. 38o), l'arc de développante bgkec trace de la partie considérée de la surface, et une génératrice (Ce, Ce'); le point donné est (F, F').
Nous construisons le cône directeur en plaçant son sommet au point (F, F'); une de ses génératrices est la droite (F/, F'/') parallèle à (Ce, CV); sa trace horizontale est le cercle qui a son centre en F et dont le rayon est F/.
Le plan cherché fait avec le plan horizontal le même angle que la droite (Ce, Ce); comme d'ailleurs il passe par le point (F, F'), il est tangent au cône directeur, et sa trace, que nous savons être tangente à la développante bkcy doit de plus toucher le cercle F/.
La tangente commune eei est la trace d'un plan qui satisfait aux conditions du problème, car les génératrices projetées sur les droites parallèles Ee et Fe, font avec le plan horizontal des angles égaux et dirigés dans le même sens; elles sont donc parallèles, et par suite le plan contenant la droite ee, et le point (F, F') touche l'hélicoïde le long de la génératrice Ee. Il n'en est pas de même des génératrices projetées sur les droites AH et A, F : elles ne s'élèvent pas dans le même sens, et l'on doit les considérer comme formant avec le plan horizontal des angles supplémentaires. La tangente commune hhs ne correspond donc pas à ung solution .
La droite gg% est la trace d'un plan tangent passant par le point (F, F), car la
