III. — Dl la Gocrsfjue. — Descriptive

génératrice gG touche l'arête de rebrousseraent au-dessous du plan horizontal, et se trouve bien parallèle à la génératrice gtY du cône directeur. La droite u, doit être rejetée ainsi qu'une autre tangente commune qui aurait son point de contact sur la développante près du point A, et que nous n'avons pas tracée par crainte de porter un peu de confusion sur l'épure.

Si l'on a quelque doute sur la position relative, dans l'espace, des deux génératrices FA, et HA, on le dissipera en construisant leurs projections verticales.

971. Nous allons maintenant résoudre le problème de mener à un hélicoide dcvehppable un plan tangent parallèle à une droite donnée (SD, S'D') (fig* 38 1 et 382). On connaît la trace bXc de la partie considérée de la surface, et Tune des génératrices (eE,e'E').

Concevons un plan passant par la droite (SD, S'D') et parallèle au plan cherché ; il fera avec le plan horizontal le même angle que les génératrices de la surface ; il sera donc tangent au cône directeur placé de manière à avoir son sommet en un point (S, S') de la droite. La trace du plan cherché est par conséquent parallèle à l'une des tangentes Dm et D/i à la trace horizontale du cône directeur; elle est d'ailleurs tangente à la développante bAc. Ces conditions déterminent quatre droites : trois d'entre elles ggtthht et kkK sont les traces de plans qui satisfont au problème. La quatrième iiK est à rejeter, car le plan tangent qu'elle détermine n'est pas parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice S/i : les inclinaisons de ces plans sont égales, mais de sens contraire.

Sections planes.

972. Pour construire l'intersection d'une surface réglée par un plan, on détermine les rencontres, avec le plan, d'un certain nombre de génératrices convenablement espacées ; les branches infinies correspondent aux génératrices parallèles au plan sécant, et par suite à celles des génératrices du cône directeur qui sont contenues dans un plan mené par le sommet de ce cône, et parallèle au plan sécant.

Soient {fig. 383)

(Aw, AW) l'hélice arête de rebroussementd'un hélicoide développable ;

(GB, G'B') une génératrice parallèle au plan vertical;

AV la développante du cercle trace horizontale de la surface;

(P, P') le plan sécant.

Nous déterminons le sommet (0, S) du cône directeur, lorsque ce cône a pour trace le carde AB (art. 959), et nous faisons passer par ce point un plan parallèle à (P, P'); sa trace horizontale coupe la trace du cône en deux points m et q;