CHAPITRE II. - HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE
la développable par un cylindre de révolution qui a le même axe qu'elle, et qui passe par un point J,.
985. L'hélicoïde est coupé par un plan (VV|t W) perpendiculaire au plan vertical, et passant par le point de division (P,P') de l'arête de rebroussement. La position du plan rend très facile la construction de la projection horizontale de la courbe d'intersection. Pour montrer comment on peut l'obtenir par la méthode de l'art. 975, nous avons déterminé le point fixe F et la développante a2b2c2 . .., trace de la surface sur le plan horizontal qui contient le point 0'2 où l'axe perce le plan sécant.
La tangente de rebroussement de la projection horizontale de la section au point P est déterminée soit par le point F, soit par un point vs intersection des traces, sur le plan horizontal auxiliaire xy, du plan tangent et du plan sécant.
Le point F étant extérieur au cercle ABC..., la courbe a deux branches infinies (art. 974). Les points à l'infini sont situés sur les génératrices dont les projet* tions horizontales passent par le point F. Nous avons construit l'asymptote nn^ parallèle à la tangente F m, en opérant sur le plan horizontal a\j\; l'autre asymptote est en dehors du cadre de l'épure.
986. Pour faire le développement, nous déterminons le rayon y'w de la circonférence transformée de l'hélice (art. 978); nous décrivons cette circonférence (Jig. 395), et nous prenons sur elle un arc AA, égal a la longueur A' A', d'une spire {Jig. %3). Nous partageons l'arc AA, (Jig. 3c)5) en autant de parties égales que le cercle AJ Ta été; par les points de division nous traçons des tangentes qui représentent les génératrices, puis nous construisons les développantes Xbcd, A,ttfl£lrl... transformées des traces (art. 979).
On obtient la transformée de la courbe de section par le plan (VV|t Va') en déterminant, sur chaque génératrice, le point qui lui appartient. Pour avoir le point 7 il faut connaître la vraie grandeur du segment g\y' (Jig. 3q3); on y parvient facilement en ramenant par une horizontale le point y' en y" sur la génératrice A'a'|f parallèle au plan vertical. La longueur a\ 7" est portée sur la génératrice g, g (Jig. 395 ), à partir de gt .
On place la tangente P^.et l'asymptote nn{ (Jig. 393), par les procédés ordinaires des développements.
987. La transformée de l'intersection est /3sP dya (Jig. 3c)5). On peut se proposer de chercher ses points d'inflexion. Pour les obtenir, il faut construire les génératrices de contact des plans tangents perpendiculaires au plan sécant (art. 477); comme d'ailleurs les plans tangents à l'hélicoïde sont respectivement parallèles à ceux de son cône directeur, on peut opérer sur ce cône, et lui appliquer la méthode de l'art. 170, car il est de révolution. Nous avons représenté la construction sur h Jig. 394. La droite (S, S'D') est l'axe du cône; les droites S'£' rt DT respectivement parallèles à j\j' et W (Jig. 3g3) sont la génératrice pa-
rallèle au plan vertical, et la trace d'un plan sécant parallèle au plan (VV,f W). Nous avons mis les mêmes lettres que sur h fig. io4, afin de rendre la concordance facile à saisir.
Nous trouvons que deux des plans tangents à l'hélicoïde sont perpendiculaires au plan sécant. Les génératrices de contact sont parallèles l'une à (SI, ST), l'autre à (SI,, ST) {fig. 3q4). Ces génératrices sont voisines, la première de (//,, /'/,), la seconde de (M,, h'h\) [fig. 393); le bras Pa doit donc avoir deux inflexions près des points où il rencontre les génératrices UK et hhi [fig. 390). L'une d'elles est très rapprochée du sommet P, et par conséquent le rebroussement se présente graphiquement comme s'il était du second ordre (art. 478).
