CHAPITRE 11. — UËLICOIDE DEVELOPPABLE

Centres de courbure de l'hélice et surface lieu de ses développées.

982. Si nous portons le rayon de courbure A'w' de D en w [fig. 38q), le point (w, D') sera le centre de courbure de l'hélice (AG, A'G') pour le point (D, D ). Le lieu des centres de courbure de cette ligne est une seconde hélice, de même pas qu'elle, et projetée sur le cercle décrit du point o comme centre, avec ow pour rayon. Appelant r' le rayon de ce cercle, nous avons

? = p — r=rtang2/3, ou

rr> = h\

Cette formule est symétrique en r et en r'; les deux hélices ont d'ailleurs les mêmes normales principales. Il résulte de là que la première est le lieu des centres de courbure de la seconde, comme celle-ci est le lieu des centres de courbure de la première.

Une semblable réciprocité ne peut pas exister entre des lignes planes, parce que les normales principales à une courbe de ce genre sont toutes dans un plan, et qu'elles y ont nécessairement une enveloppe, de sorte que le lieu des centres de courbure est une développée de la courbe.

La formule que nous avons trouvée montre que, quand deux hélices sont telles que chacune d'elles soit le lieu des centres de courbure de l'autre, leur pas, réduit commun est moyen proportionnel entre les rayons des cylindres sur lesquels elles sont tracées.

985. Considérons une hélice (AB, A'B') [fig. 3f)i) et le plan (GG\ G'E'j, qui lui est osculateur au point (E, E') où sa tangente est parallèle au plan vertical; si nous supposons que ce plan se meuve en restant toujours osculateur de l'hélice, l'enveloppe de ses positions sera la développable dont l'hélice (AB, A'B') est l'arête de rcbrousscment (art. 465).

L'angle j3 que le plan forme avec le plan horizontal, le pas réduit des hélices et le rayon r du cylindre sur lequel est l'hélice arête de rebroussement de la développable enveloppe, sont reliés par la formule (art. 966)

r=/*cot/3.

Considérons maintenant un plan (gg*, g'E') perpendiculaire au premier, et le

coupant suivant une horizontale qui rencontre Taxe; puis supposons qu'il soit

entraîné dans le mouvement : l'hélicoïde développable enveloppe de ses positions

aura son arête de rebroussement (ab, a' b') située sur un cylindre dont le rayon r'

sera donné par la formule

r' = Atang{3.

HI. — De la Gocrxerie. - Descriptive. 18

Le produit rr' est égal à h2; par conséquent, et eu égard à la position des hélices, chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de l'autre (art. 982).

Le plan normal à Tune des hélices en un point quelconque (E,E') est osculateur de l'autre au point (ef é) situé dans le même plan horizontal. Chacun des hélicoïdes est donc l'enveloppe des plans normaux a l'arête de rebroussement de l'autre hélicoïde, et par conséquent le lieu des développées de cette courbe.

Exercice pour la section d'un hélicoïde développable par un plan, et le développement de cette surface.

981. Nous avons représenté sur la^. 3cj3 la partie d'un hélicoïde développable qui correspond à une spire de l'hélice directrice.

Cette courbe se projette sur le cercle ABC La trace horizontale de la surface

est l'arc de développante Acdegh... correspondant à une circonférence; l'arc symétrique Ashrh ... esl la projection de la trace de la surface sur le plan horizontal aj[ élevé au-dessus du premier d'une hauteur égale au pas.

Nous partageons le cercle en parties égales, et, traçant les tangentes aux points de division, nous avons les projections horizontales d'un certain nombre de génératrices. Chacun des segments Aai9 ccl9 dd{9 ..., compris entre les deux développantes, est égal a la longueur de la circonférence ABC —

Nous projetons les points des développantes Acde... et Aslriqi... respectivement sur deux horizontales j's' et àj\\ puis, joignant les points correspondants A' et a\9 b' et b\% ..., nous avons les projections verticales des génératrices considérées.

La branche Acd... de la développante n'a pu être tracée en entier, et par suite les traces horizontales de deux génératrices manquent sur la figure; mais il est facile de reconnaître par la construction que les génératrices qui, sur le plan horizontal, ont des positions symétriques par rapport à la droite AOJ, sont parallèles sur le plan vertical; par conséquent, pour avoir les projections des deux dernières génératrices, il suffit de tracer par les points A', et u\ des droites respectivement parallèles à a\ A' et b\ b'.

Les projections verticales des génératrices dessinent par leur enveloppe la sinusoïde projection de l'hélice directrice.

Les plans tangents le long des génératrices {jj\,j'j\) et (Aa,, A'a\) soi t perpendiculaires au plan vertical, et par suite ces droites forment le contounapparent vertical de la surface. La ponctuation est établie en conséquence.

Nous avons représenté les deux arcs d'hélice qui sont les intersections de