CHAPITRE III. -^ SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES

points 0 et S : il coupe la spirale au point K, trace de la génératrice sur laquelle est le point M(').

Le même cercle rencontre la spirale aux points K, et Ka qui font trouver les points Mj et M2.

1011. L'axe étant supposé divisé en segments égaux au pas des hélices, les arcs de la courbe d'ombre sur les parties correspondantes de la surface ne sont pas identiques. La projection horizontale d'un arc qui n'a pas de branche infinie présente, avec la ligne de \àfig. 3g8, une ressemblance d'autant plus grande que la partie de la surface sur laquelle il se trouve est plus éloignée du point lumineux. Quand cette partie est à une très grande distance du point lumineux S, les projections des arcs sont très resserrées près l'origine 0, car les plans passant par le points et par les différentes génératrices sont presque verticaux, et ont leur point de contact rapproché de l'axe. On peut d'ailleurs vérifier que la construction de l'art. 1007 donne des points très voisins du pied de l'axe, quand on*opère sur les génératrices qui ont leurs traces sur les grandes spires de la spirale d'Archimède.

Dans l'espace, la courbe rencontre Taxe à des intervalles égaux à la moitié du pas des hélices (art. 1009); au delà des parties où sont ses branches infinies, elle se resserre de plus en plus sur Taxe qui doit, par conséquent, être considéré comme étant une de ses asymptotes.

Tangentes et asymptotes des courbes d'ombre. Points limites de ces lignes dans le cas de rayons divergents.

1012. Le procédé facile que nous avons pour la détermination des asymptotes de l'indicatrice, en un point quelconque de la surface de lavis à filets triangulaires (art. 1004), permet de construire rapidement les tangentes à la courbe d'ombre. Nous examinerons d'abord ce problème sur la projection horizontale.

Soient (fig. 4*6)

S le point lumineux; OK la projection d'une génératrice ; K la trace de cette droite ; O la trace de l'axe;

OQ le cercle auxiliaire dont le rayon est r : en appliquant à la dioite OK la con- • struction de l'art. 1007, on trouve que la courbe d'ombre passe au point M.

( » ) La construction de l'article 1010 nous a été communiquée par Bour ; on peut en déduire les tracés qui ont été exposés à l'article 1008.

Nous prolongeons le rayon OQ d'une longueur égale QD, nous traçons DM : les droites MO et MD sont les deux asymptotes de l'indicatrice du point M, MS est le rayon de lumière; la tangente à la courbe d'ombre étant l'harmonique conjuguée du rayon lumineux par rapport aux asymptotes de l'indicatrice, on en obtient un point R en menant la parallèle KG à MD et en la prolongeant d'une longueur GR égale au segment EG.

Cette construction ne peut pas servir pour les asymptotes. Nous allons la modifier de manière à la rendre d'une application plus générale, tout en lui conservant sa simplicité.

Nous traçons la droite SD qui rencontre la tangente en d et nous construisons le triangle dam, homothétique au triangle DOM et ayant avec lui le point S pour centre de similitude. La droite MO partage en deux parties égales le côté md parce qu'il est parallèle à ER, et ensuite le côté ad parce qu'elle est elle-même parallèle à la base am. Le point / est donc le milieu du côté ad9 et par conséquent il se trouve sur la droite qui va du point S, centre de similitude, au milieu Q de OD.

D'après cela, pour avoir le point d de la tangente Md, il suffît de tracer la droite SQ, de mener, par le point / où elle rencontre la génératrice OM, la parallèle al h OQ, et de prolonger cette ligne d'une longueur égale à elle-même du côté du point /. Les tangentes à la courbe aux points situés sur la droite indéfinie OK passent toutes par le point d.

' Quand les rayons sont parallèles, le point S est à l'infini et la droite Q/doit être parallèle à la droite OX (fig. 397, 3g8, 4oo et 402) (').

1015. La fig. 412 montre une application de la construction que nous venons d'expliquer à la détermination de l'asymptote ed d'une branche infinie. La tracp de cette droite est au point ef sur la trace Re du plan qui touche la surface au point situé à l'infini sur la génératrice OR.

Si la spirale d'Archimède rencontre tangentiellement le cercle OS en un point R [fig. 4ï#)» la droite RQ est la normale commune (art. 992), et par conséquent le centre du cercle est au point C où cette droite coupe OS. Le point Q doit d'ailleurs être sur le cercle, car l'angle ROQ est droit. Il résulte de là que les droites RO et SQ qui passent aux extrémités des diamètres SO et RQ sont parallèles; le point / (fig. ^\i) est par conséquent à l'infini, le segment al est infini et la branche infinie de la courbe d'ombre est parabolique.

1014. Quand on connaît la projection horizontale d'une tangente, on construit

(*) Cette construction nous a été communiquée par Bour qui y était parvenu par l'analyse; nous l'avons rattachée au théorème des tangentes conjuguées, eu égard à la nature spéciale de cet Ouvrage.

Poncelet a trouvé par la méthode de Roberval une construction également très simple pour la tangente à la projection horizontale de la courbe d'ombre de la surface de la vis à filets triangulaires, mais seulement dans le cas où les rayons sont parallèles. [Applications d' Analyse et de Géométrie.)