CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES

facilement sa projection verticale par la considération du plan tangent au point correspondant de la surface. Toutefois ce procédé ne peut pas être employé lorsque le point considéré est sur Taxe, parce que le plan tangent est vertical. Il faut alors recourir au théorème des tangentes conjuguées : les deux asymptotes de l'indicatrice sont l'axe et la génératrice.

1015. Nous terminerons ce qui concerne les courbes d'ombre en disant quelques mots sur la détermination de leurs points limites.

Le point M de la courbe d'ombre (fi g. 4*5) est un point limite quand le rayon de lumière SM est la seconde asymptote de l'indicatrice, et par conséquent quand ce rayon passe par le point D, situé sur la perpendiculaire OQ à OxM, à une distance de 0 double du paramètre r.

Si nous décrivons un cercle du point 0 comme centre et avec un rayon égal à OD, et si nous considérons S comme un point fixe de divergence, le point M sera sur la courbe que l'on obtiendra à l'aide du cercle et du point S par la construction de l'art. 993. Les points limites sont les intersections de cette courbe auxiliaire et de la courbe d'ombre, pourvu toutefois qu'elles résultent d'azimuts et de rayons vecteurs égaux et non d'azimuts inverses avec des rayons vecteurs contraires.

On reconnaît, comme dans le cas des rayons parallèles (art. 1006), que les points de la courbe projetés sur le point 0 ne sont jamais des points limites.

Représentation d'une surface de vis à filets triangulaires et de sus ombres.

1016. Nous avons représenté sur Iay?#. 409 une partie de la nappe inférieure d'une surface de vis a filets triangulaires éclairée par des rayons parallèles. Le cercle BG, projection de l'hélice directrice, a été divisé en quatorze parties égales, et les génératrices qui passent par les points de division ont été tracées sur les deux plans de projection. Leur enveloppe sur le plan vertical est le contour apparent de la surface, ou la projection verticale de sa ligne de contact avec un cylindre circonscrit perpendiculaire à ce plan. La projection horizontale de ce contour apparent est une courbe D,OD, . .., H! OH du genre de celle que nous avons étudiée a l'art. 1002. Les génératrices du cylindre circonscrit étant perpendiculaires au plan vertical, les droites qui divergent du point fixe situé à l'infini sont parallèles à la ligne de terre. Nous traçons le cercle auxiliaire KA qui a pour rayon le paramètre r et nous obtenons ensuite la courbe sans difficulté. Les points situés sur l'hélice directrice doivent être déterminés directement. La discussion des différentes parties du contour apparent se fait comme pour la courbe d'ombre dont nous nous occuperons à l'article suivant; nous

l6o LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

nous bornerons ici à dire que les arcs DO et OH sont seuls utiles, parce que nous ne considérons que la partie de la surface comprise entre l'axe et l'hélice directrice. En relevant sur le plan vertical les points où ces arcs rencontrent les projections horizontales des différentes génératrices, nous avons les positions précises des points où les droites tracées sur le plan vertical touchent leur enveloppe.

lTne asymptote du contour apparent dans l'espace est déterminée par sa projection horizontale et par le plan tangent a la surface au point situé à l'infini sur la génératrice parallèle. L'asymptote de la branche ODH, 0 est donc l'intersection du plan vertical B,G, et du plan (B,B2, B'L) tangent au point situé à l'infini sur la génératrice (BO, B'L), c'est-à-dire la droite (B,G,, B'L) pour la première spire. Les projections des génératrices parallèles au plan vertical sont ainsi les asymptotes du contour apparent sur ce plan, ce qu'il était facile de prévoir, car elles doivent être tangentes à cette courbe, comme les projections des autres génératrices.

1017. Nous supposons la surface éclairée par des rayons parallèles à la droite R' située dans le plan vertical; nous déterminons alors le point fixe P et nous construisons la projection horizontale de la ligne d'ombre (art. 995) : elle est du genre de la courbe qui est représentée sur \'àjig. 4oa. On relève ensuite ses différents points sur le plan vertical. 11 serait facile de tracer ses asymptotes, mais elles présentent peu d'intérêt pour les arcs qui se projettent dans l'intérieur du cercle BG.

On peut facilement discuter les différentes parties de la courbe d'ombre, à l'aide des principes que nous avons posés dans les articles précédents. Le pointM est sur la divergente PQ et correspond au rayon OQ; la branche de la spirale d'Archinièdc sur laquelle se trouve la trace de la génératrice OM s'étend donc du côté où se trouve le point Q. On reconnaît ainsi que le point M appartient à la nappe inférieure (art. 991). Les deux asymptotes de l'indicatrice sont MO et MQ, ; lorsque l'hélicoïde se réduit à un cône, la partie OMQ, disparait : c'est donc celle qui contient les courbes dont les tangentes au point M sont au-dessous de la surface (art. 1005). Le rayon de lumière SM situé hors de cet espace angulaire est au-dessus de l'hélicoïde, et par suite le point M est utile et vu sur le plan horizontal. Il en est de même de tout point des branches 05 et Oa. Sur la projection verticale, les points de la première d F sont vus et ceux de la seconde al/ cachés.

La surface étant limitée à Taxe, les génératrices B'L et B'L', qui sont dans un plan passant par l'axe et parallèle aux rayons de lumière, forment la ligne d'ombre portée sur la face inférieure de la nappe, au moins dans la partie vue.