CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. l

Nous allons chercher le plan tangent à la surface gauche en un point (N, N') de cette génératrice.

La trace horizontale du plan tangent à la surface au point (M, M') passe aux points V et K, traces de la génératrice et de la tangente à la directrice. L'intersection de ce plan et du plan vertical MT, perpendiculaire à SM, est (MT,M'T).

La surface donnée se raccorde le long de (SN, «N') avec l'hélicoïde qui a pour axe la verticale (S, AS'), dont une hélice passe au point (M, M') tangente à la droite (MT, M'T"), et dont le cône directeur est celui que décrit la droite o/w' (art. 614). Nous pouvons donc opérer sur cette surface auxiliaire.

Le plan tangent au point (N, N') est déterminé par la génératrice et par la tangente à l'hélice. Pour obtenir la trace horizontale de cette dernière droite, nous remarquons que, les hélices décrites par les points (N, N') et (M, M') ayant des pas égaux, les cotangentes de leurs inclinaisons sont proportionnelles aux rayons SN et SM. D'après cela, si le point (N, N') était en (N,N") à la hauteur de (M, M'), la tangente à l'hélice en N aurait sa trace au point U sur la droite ST, et sa projection verticale serait N"U'; dans la position où se trouve réellement le point (N,N'), la tangente à l'hélice a pour projection verticale la droite N'R' parallèle à N"U'; d'où il suit que sa trace horizontale est au point R et que la droite RV est la trace horizontale du plan cherché.

Si l'on avait plusieurs plans tangents à construire en des points d'une même génératrice, on déterminerait le paramètre r de l'hélicoïde de raccordement, et l'on appliquerait les tracés de l'art. 991.

L'axe, considéré comme directrice de la surface gauche, n'est utile que sur la longueur du segment AB. Les points A et B sont par conséquent des sommets (art. 632). Quelle que soit la forme de la directrice tracée sur le cône de révolution, aux points où la tangente à cette courbe est horizontale, l'hélicoïde de raccordement se change en un cône; les sommets de ces cônes sont des sommets de la surface gauche.

1022. Quand deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice, cette droite a le même point central dans les deux surfaces. Il résulte de là, et des considérations présentées dans l'article précédent, que, quand une surface gauche a une directrice rectiUgne et que les génératrices rencontrent cette droite sous un angle constant, la ligne de striction de la surface est cette directrice.

1023. Extension à l 'hélicoïde gauche général des constructions relatives à la surface de la visa filets triangulaires. — On peut étendre assez facilement à l'hélicoïde

gauche général les diverses constructions expliquées pour la surface de la vis à filets triangulaires. Nous nous bornerons à ce qui concerne le plan tangent.

Soient (CD, CD) l'hélice de gorge (fig. 4^5 bis), (FB, E'B) une génératrice parallèle au plan vertical, et NK une génératrice quelconque : nous nous proposons de construire le plan tangent au point M de cette droite.

l6G LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES.

Si la génératrice (FB,E'B') entraîne dans son mouvement la droite (OA, E'B') qui lui est parallèle, cette dernière ligne engendrera une surface de vis à filets triangulaires, dont la trace sera une spirale d'Archimede AV que nous savons construire. Lorsque la génératrice FB aura la position NK, la droite parallèle OA, devenue OR, aura sa trace en R, et l'on obtiendra la trace K de la génératrice en prenant, à partir du point N, une longueur égale à OR.

Par le point C, nous menons deux droites C'S et CL respectivement parallèles àB'E' et à la tangente à l'hélice de gorge au point (F, E') : la longueur LS est égale au paramètre des génératrices (art. 961).

L'hélicoïde se raccorde le long de la génératrice NK avec une surface de vis à filets triangulaires qui a pour axe la verticale du point N, et dans laquelle le paramètre des génératrices est égal à LS. D'après cela, si nous prenons sur le rayon ON une longueur NQ égale à LS cot YB'E' ou Lq, il suffira, pour obtenir la trace du plan tangent en M, de mener la droite QM, et de lui abaisser une perpendiculaire du point K.

En conservant les notations de l'art. 960, et en ayant égard aux résultats obtenus dans cet article, on a

OQ = ON + NQ, OQ = b -f- kt cota, OQ = h cot a.

La longueur OQ est donc indépendante du rayon b; on la construit comme pour une surface de vis a filets triangulaires, et on la porte du côté du point 0 où s'étend la branche de la courbe spirale sur laquelle la génératrice considérée a sa trace (').

Observations générales sur les rayons de courbure et les lignes asymptotiques de la surface de la vis à filets triangulaires.

1021. Nous pouvons déterminer les rayons de courbure des sections principales d'une surface de vis à filets triangulaires en un point donné, car le théorème de l'art. 826 nous fait connaître leur produit, et il est facile d'obtenir leur rapport en construisant l'angle des asymptotes de l'indicatrice.

( * ) Le lecteur qui voudra avoir plus do détails sur les constructions relatives à l'hélicoïde gauche général pourra consulter le Mémoire que nous avons publié dans le XXXIVe cahier du Journal de r École Polytechnique.

Nous complétons cette Note do l'Auteur en citant un Mémoire do M. Karl Pclz « sur la détermination des contours apparents des hélicoïdes gauches », publié à Vienne, en i883, dans les Comptes rendus des séances do l'Académie impériale des Sciences. La construction de l'art. 1023 y est obtenue en considérant un paraboloïdo de raccordement le long de chaque génératrice rectiligne, et appliquée à la détermination du contour apparent vertical do l'hélicoïde oblique général à axe vertical. En outre, M. Karl Pelz démontre, sans appliquer le théorème des tangentes conjuguées, une construction simple des tangentes à la projection horizontale de ce contour. (E. L.)