CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. l

Les ombres des arêtes (ST, S"T"), (TU, TU") de là tête de la vis sont les lignes S,T, etT,U,.

Ces différentes lignes font connaître la limite de l'ombre portée sur le plan horizontal, et donnent tous les éléments nécessaires pour la détermination des ombres sur la projection verticale.

Ombre portée par la vis sur elle-même. — Nous allons déterminer les ombres que la vis porte sur elle-même par la méthode des projections obliques (art. 370- 573), et d'après les lignes d'ombre que nous avons obtenues sur le plan horizontal. Les courbes v",^ etX'x" sont les traces des cylindres circonscrits parallèles aux rayons de lumière, et dont les lignes de contact sont v', p\ etV,/,; ces traces se coupent en un point <»", et par suite les cylindres ont une génératrice commune, dont la projection verticale w, ta] passe par le point w", projection de&>". Les arcs \\v\ etwV, projettent leur ombre sur le plan horizontal, l'arc (/,&>' n'est pas éclairé et l'ombre de l'arc &>',/', est reçue par la face supérieure du filet inférieur; elle s'étend de /', à &>'. Pour en avoir un point intermédiaire, nous traçons une génératrice rectiligne (mn, m'n') de Thélicoïde, et nous déterminons son ombre n" m". Cette ligne coupe la projection \\y[% en un point*/", et par suite le rayon de lumière qui aboutit à ce point rencontre successivement la courbe d'ombre propre V,/', et la génératrice m'n'; le point d\ ramené de cl", est donc un point de la trace, sur la face supérieure du filet, du cylindre circonscrit le long de la ligne V, /',.

Les autres déterminations se font d'après les mêmes principes et ne présentent pas plus de difficultés. Le point g" fait connaître le point g où le plan d'ombre de l'arête (ST, ST') rencontre l'hélice saillante. En traçant des génératrices rectilignes sur les deux faces du filet, de part et d'autre de g, et considérant les intersections de leurs ombres avec les droites S,!*, et T,U,, on détermine par points l'ombre qui est projetée sur la vis par les arêtes (ST, S"T") et (TU, TU").

Les lignes T, U, et \\fa se rencontrent en un point *"que nous ramenons d'abord en t"l9 puis en t\ en /', et en t[2. L'ombre du segment T"/'2 est fi'. L'ombre de l'arête T"U", au delà du point /'2, est reçue sur le filet suivant à partir du point t\ .

On détermine par les mêmes principes les ombres portées sur le plan vertical.

Nous n'avons tracé les lignes d'ombre cachées que lorsqu'elles sont utiles pour la construction.

1020. Ombres de Vëcrou. — Les lignes d'ombre propre étant réelles sur la vis sont virtuelles sur l'écrou, et par suite les figures de la PL XXVII n'ont que des ombres portées. Pour obtenir leurs contours, nous projetons, par des droites parallèles au rayon (R, R'), les différentes arêtes sur un plan horizontal dont nous avons placé la ligne de terre X"Y" à la hauteur du point D',. L'ombre portée sur le plan horizontal par un point est indiquée par la lettre qui désigne le point, avec un double accent : ainsi H" est l'ombre du point (H, H').

j64 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

Les courbes H"J" et B'2D2, projections obliques de la spirale d'Archimède H' J' et de la demi-spire B'2D'2, se coupent en un point p* : le point correspondant j3' de l'hélice est celui où cette courbe reçoit l'ombre de la spirale. On détermine d'une manière analogue les points •/, & et e' où l'ombre de la ligne brisée HT' coupe les demi-spires C'aE',, B', D', et C'f E'. On obtient des points intermédiaires de la courbe d'ombre portée en considérant des génératrices rectilignes. La génératrice (mn, m'n'\ a pour projection oblique la droite m'a" qui rencontre en v" et en ti" les projections C.2B\ et WV de l'arête (CB, CaB'2) et de la spirale (HJ, HT). Ces points font connaître les intersections a' et %' de la génératrice avec la ligne d'ombre.

Nous avons reproduit de layîg-. 4°7 la ligne d'ombre propre (<}/y, <|/?')î le point (a, a') où elle rencontre la spirale est l'origine de la courbe d'ombre portée par la spirale d'Archimède sur le filet, car le rayon de lumière qui passe par ce point y est tangent à la surface : c'est celle des génératrices du cylindre d'ombre de la spirale, dont les deux points situés sur la face du filet se sont réunis en un seul.

A partir du point où commence l'ombre de la ligne brisée H'F', les mêmes contours se reproduisent sur les filets. Le point î', se trouve par suite sur la verticale de S'.

Hclicoïde de la vis à filets triangulaires employé comme surface

auxiliaire.

1021. L'hélicoïde que nous venons d'étudier peut être employée comme surlace auxiliaire dans divers problèmes relatifs aux surfaces gauches; mais le seul cas où cette méthode présente des avantages réels sur les procédés ordinaires est celui où la surface considérée a une directrice rectiligne et où ses génératrices rencontrent cette droite sous des angles égaux ; car on obtient alors sans difficulté des hélicoïdes de raccordement.

Supposons qu'une droite se meuve en restant normale à un cône de révolution aux différents points d'une section plane, et proposons-nous de construire le plan tangent en un point à la surface qu'elle engendre. Nous prenons des plans de projection tels que Taxe du cône soit une verticale (S, A$>')(fig. 4<>3), et que le plan sécant (PG,GL) soit perpendiculaire au plan vertical.

La génératrice (SC,S'C) coupe le plan au point (M, M'). Si l'on suppose que cette droite tourne sur le cône, jusqu'à devenir parallèle au plan vertical, le point M' se placera en m\ et la normale en ce point sera la droite m'tù perpendiculaire à m' S'. La normale au cône au point (M, M') est donc la droite (SM, wM').