SURFACE DE LA VIS A FILETS CARRÉS

Définitions. — Propriétés générales.

1025. On appelle surface de la vis à filets carrés (') la surface engendrée par le mouvement hélicoïde d'une droite autour d'un axe qu'elle rencontre à angle droit. Cet hélicoïde est tout à la fois une variété de la surface de la vis à filets triangulaires et un conoïde droit (art. 669).

Deux génératrices ne peuvent pas se rencontrer, car elles sont dans des plans horizontaux différents : la surface n'a donc pas d'hélices doubles dont les points soient à une distance finie de l'axe.

L'angle des génératrices avec le plan horizontal étant nul, le paramètre r, rayon du cylindre sur lequel est tracée l'arête de rebroussement de l'hélicoïde développablc asymptote, est infini (art. 989), et par conséquent cette surface disparaît à l'infini, ce qui doit être, puisque la surface de la vis à filets carrés est un conoïde (art. 641).

1026. Une surface de vis à filets carrés étant déterminée par l'axe (0, 0'Z) et par l'hélice directrice (AB, A'B'A") (fig. 4*7)» cherchons son intersection avec le cylindre vertical dont la trace horizontale est le cercle de diamètre AO.

Le point (m, m'), où une génératrice (OM, 0"M') coupe ce cylindre, est à la même hauteur que le point (M, M') de l'hélice directrice, et l'angle AC/w est double de l'azimut AOM de ce dernier point; mais l'ordonnée et l'azimut du point (M, M') sont dans un rapport constant, l'ordonnée du point (m, m') et son azimut mesuré, en prenant pour origine le point C centre du cercle AmO, sont donc aussi dans un rapport constant, qui est la moitié du précédent; il résulte

(«) Voir la Note do l'art. 958.

l68 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

de là que le lieu des points (m, m') est une hélice dont le pas est la moitié du pas de l'hélice directrice (AB, A'B).

Nous voyons ainsi que, quand une génératrice d'un cylindre de révolution se confond avec l'axe (F une surface de vis à filets carrés , V intersection de ces deux surfaces est une hélice dont le pas est la moitié dupas de Vhélicoïde.

Une spire de l'hélice excentrique AmO coupe en deux points chacune des hélices génératrices dont la distance à l'axe est plus petite que OÀ, et touche en A celle dont la projection est ANB.

Considérons le point (D, D') de l'hélicoïde et traçons deux droites perpendiculaires à OD, passant l'une par le point D, l'autre par le milieu L de OD : tout point de celle-ci, tel que E, est le centre d'un cercle qui passe par les points 0 et D; ce cercle touche en F celui qui est décrit du point 0 comme centre avec OF pour rayon. Il résulte de là que Von peut tracer sur une surface de vis à filets carrés, par un point quelconque D, une infinité cT hélices excentriques, et que ces courbes touchent les hélices génératrices de Vhélicoïde aux points de la section faite par un plan vertical FH ( * ).

Plans tangents. — Sections planes.

1027. Les constructions que nous avons trouvées pour la surface de la vis à filets triangulaires s'appuient presque toutes sur un cercle auxiliaire, qui a pour rayon le paramètre r, et sur une spirale d'Archimède, lieu des traces horizontales des génératrices. Elles sont, pour la plupart, inapplicables à la surface de la vis à filets carrés, parce que le paramètre r devient infini et que les génératrices sont parallèles au plan horizontal; mais, en se reportant à la théorie des conoïdes, on obtient facilement d'autres tracés généralement très simples.

1028. Construction du plan tangent à Vhélicoïde en unpoint donné. — Soient 0 la trace horizontale de l'axe {fig. [\i i), BN le cercle projection de l'hélice directrice, B la trace de cette courbe, et M un point d'une génératrice OC où l'on veut construire un plan tangent.

La tangente à l'hélice directrice au point N se projette sur la tangente NT au cercle, et a sa trace en un point T que l'on détermine en prenant la longueur NT égale à l'arc NB (art. 949).

Le paraboloide qui a pour directrices l'axe et la tangente NT à l'hélice, et pour plan directeur le plan horizontal, se raccorde avec la surface le long de la génératrice ON; sa trace sur le plan horizontal est la droite OT. La parallèle MG

(*) Nous croyons que les deux théorèmes de l'art. 1026 sont dus à Th. Olivier {Développements de Géométrie).