CHAPITRE IV. - SUIIFACK DE LA VIS A FILETS CAKRÉS. iGl

à NT est la trace d'un plan vertical qui, étant parallèle aux deux directrices rectilignes du paraboloïde, coupe cette surface suivant une génératrice du second système. Le plan tangent est déterminé par cette droite dont la trace est G, et par la génératrice horizontale OC : sa trace est donc la droite GH parallèle àOC(l).

On voit qu'il est possible de faire la construction en opérant sur le plan horizontal seulement.

Si Ton devait construire plusieurs plans tangents, il serait utile de tracer la développante BTV du cercle BN. Cette courbe est, comme nous le savons, le lieu des pieds des tangentes à l'hélice.

La même construction, faite en ordre inverse, donne le point de contact M d'un plan qui contient une génératrice OC et dont on connaît la trace GH. On détermine la trace OT du paraboloïde de raccordement; cette ligne rencontre la droite GH en un point G que l'on projette sur OG.

1029. Sections planes. — Si la surface est divisée en parties correspondant aux différentes spires de l'hélice directrice (/ig. /| 1 7 ) » on pourra déterminer sur chacune d'elles deux génératrices ( ON, wN') et (ON, , co, N'f ) parallèles à la trace horizontale PQ d'un plan sécant, quelle que soit sa direction. Toute section plane aura donc deux branches infinies sur chaque partie de la surface. Les asymptotes sont les intersections du plan par les plans horizontaux contenant les génératrices (art. 641).

Quand le plan sécant contient une génératrice, cette droite forme une branche infinie de l'intersection; la courbe proprement dite passe au point de la génératrice où le plan touche la surface. Enfin, lorsque le plan est horizontal, Tintersection se réduit a une génératrice et à la directrice rectiligne que la surface possède à l'infini (art. 641).

Ligne d'ombre propre pour des rayons parallèles.

1030. On peut déterminer la projection horizontale de la ligne d'ombre propre par la construction de l'art. 995, en remarquant que le cercle auxiliaire a un rayon infini. Traçant alors du point fixe P une divergente quelconque PQ {/ig. (\'±o), on lui mènera une parallèle OQ,, et on élèvera à ces droites une perpendiculaire OM : la courbe est le lieu des points M, pieds des perpendiculaires abaissées de la trace 0 de l'axe sur les droites qui divergent du point P, c'est-à-dire le cercle ayant OP pour diamètre. Par suite, et conformément au

( l ) Cette construction est identique avec celle que nous avons exposée à Farticle 672 pour le plan tangent au conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde.

théorème de l'art. 1026, la ligne d'ombre dans l'espace est une hélice excentrique.

1051. Il est facile d'établir que la projection horizontale de la courbe d'ombre propre est un cercle, d'une manière directe, en partant de la construction de l'art. 1028. Nous supposons le rayon de lumière (R,R') parallèle au plan vertical [fig. (\ii)\ nous considérons une génératrice (ON, 0',N'), et nous déterminons successivement la trace KG du plan passant par cette droite et parallèle aux rayons, la trace TG du paraboloïde de raccordement formé par les tangentes aux hélices, et le point M de la courbe d'ombre.

Nous pouvons supposer que le plan horizontal s'élève ou s'abaisse de manière à se trouver toujours à une même hauteur au-dessous de la génératrice considérée; alors la trace A de l'hélice directrice est en un point variable du cercle ANC, l'arc AN a une grandeur constante ainsi que l'angle TON, et le point K est fixe.

L'angle OGK égal à TON est constant, et ses côtés passant respectivement par deux points fixes 0 etK, son sommet se meut sur un cercle. Si nous prolongeons la droite GM jusqu'à ce cercle en P, le point P sera fixe, car l'angle OGP complémentaire de TON est constant. Le sommet M de l'angle droit PMO décrit donc un cercle ayant OP pour diamètre.

Dans le quadrilatère inscrit POKG, l'angle en G est droit ; l'angle en 0 est donc aussi droit, et par suite le diamètre OP du cercle POM est perpendiculaire à xy.

Lorsque le point M est en P, G se trouve en G,, l'angle G,OP est égal à TON, et l'on a

tangTON

On trouve d'ailleurs

OK = O'O; coty, tangTON = AON,

y étant l'angle O'K'O', des rayons de lumière avec le plan horizontal. En portant ces valeurs dans l'expression de OP, on obtient

et, en introduisant le pas réduit h,

OP = /*coty.

Nous n'avons ainsi que la grandeur absolue du diamètre OP. En faisant sur la direction des ordonnées positives les mômes conventions qu'à l'art. 995, on reconnaît, d'après la position du point P sur la figure, que son ordonnée est de signe contraire au produit h coty.