CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE
Elle se décompose en deux :
/Q, «*sinacosa , / a* . \ /asin
(3) ^=^i + 5isin««J5'H.fl8in«logy/ïïiï
,,* a2sir>acosa / a2 . \ . /asins
(4) Fi .r=^-^Sm'aj3'+«s,nalogy/^^
Il est facile de trouver l'équation de la transformée par développement, dans le cas où le cylindre est de révolution. On a alors
b = a si n «,
et les équations (3) et (4) deviennent
/b .+- -' (5) x' cota = 2 zf — b log 1 / . __ , >
[b .r'C0ta=r &logl/ .—
Si nous rapportons les transformées aux droites O^D* et CTO', on aura
x' = x", z'=b s'il) ^j-'
En portant ces valeurs de xf et de z' dans les équations (5) et (6), on trouve pour équations des transformées
(7) j?"cota:=za6sin — — Mog tangf 45° -f- ^j )>
(8) x" cota = b log tangf 45° -+-"-rV
L'équation d'une sinusoïde transformée d'une section horizontale, telle que C'B\ est, en supposant toujours que le cylindre soit de révolution,
x" langa 4- b sin y -+- G = o.
La différentiation donne
dx1,~~ ^'
COS-p
et Ton a pour la trajectoire orthogonale
dz'
-=-- ■ =2 COtaCOS-rdx" b
En intégrant cette équation différentielle on trouve l'équation (8). Il résulte de là que les équations (4), (6) et (8) se rapportent à la ligne de plus grande pente, et les équations (3), (5) et (7) à la courbe compagne.
1081. Conoîdes dont le plan directeur est horizontal — Quand les génératrices
2o8 LIVRE X. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES.
d'une surface sont des droites horizontales, les projections des lignes de plus grande pente sont les trajectoires orthogonales d'une série de droites, et par suite des développantes de leur enveloppe.
Si le conoïde est droit, les trajectoires orthogonales sont des cercles. On conclut de la que les lignes de plus grande pente d'une surface de vis à filets carrés dont l'axe est vertical sont des hélices génératrices.
Hëlicoïdes. — Pour une surface de vis à filets triangulaires, la projection d'une ligne de plus grande pente est la trajectoire orthogonale d'une série de spirales d'Archimëde identiques et ayant leurs sommets en un même point. Cette courbe a donc une sous-tangente constante, et par suite elle est une spirale hyperbolique (art. 1024). Dans l'espace, les lignes de plus grande pente forment deux groupes qui appartiennent respectivement à la nappe supérieure et à la nappe inférieure. L'axe les sépare et leur est asymptote aux unes d'un côté, et aux autres de l'autre.
1082. Dans la plupart des surfaces que nous venons d'étudier, et qui sont des plus simples de la Géométrie, les lignes de plus grande pente différent d'une manière essentielle des courbes que nous avions eu l'occasion d'examiner, car elles ont des points d'arrêt à distance finie ou à l'infini. Elles sont, en général, réparties en groupes séparés par des lignes de plus grande pente qui sont soumises aux lois ordinaires de la continuité.
