CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. 'iOJ

valeur 900; le centre de l'ellipse se trouvera alors en A. Au delà du point 0 la trajectoire a un rebroussement; car, en considérant l'ellipse quand son centre occupe sur l'axe les deux positions voisines de A, en deçà et au delà de ce point, on reconnaît que les deux éléments qui aboutissent au point 0 ont des positions symétriques par rapport à la normale OA de l'ellipse. Enfin la courbe a une seconde brandie OS asymptote de VX, comme la première.

En prenant successivement pour points de départ les différents points de la droite OL, on obtient les diverses trajectoires qui sont évidemment identiques. De l'autre côté de l'axe on trouve de nouvelles trajectoires superposables aux premières et placées symétriquement à elles.

1079rt. On peut représenter Tune quelconque des ellipses par l'équation

c étant un coefficient arbitraire.

On obtient, par la dififérentiation,

dy b*(x — c) dx ~~ a1 y

et, en éliminant c,

dy __ b\/b* — y* dx ay

L'équation différentielle de la trajectoire orlbogonale est par conséquent

dy ay

djc ~~ b\/b--y* é

On trouve, en intégrant,

- j? = y/£» — y* 4- 61og

b + ^/bi—y*

Nous n'ajoutons pas de constante, parce que, toutes les trajectoires étant identiques, on peut considérer uniquement celle qui a son point de rebroussement sur l'axe des ordonnées, et pour laquelle par suite la valeur o 6e x correspond à la valeur b de y. Pour avoir la courbe dans toute son étendue, il faut donner le double signe au radical; mais l'on voit facilement que son signe détermine celui du second membre de l'équation, sans avoir aucune influence sur sa grandeur absolue. On peut donc prendre le radical positivement, et attribuer le double signe au premier membre (!).

1080. Quand le lieu des centres des ellipses dans l'espace est une droite A' A\ [fig. 448), la surface est un cylindre, et l'on obtient la ligne de plus grande pente en prenant son intersection avec le cylindre vertical PMONQ. La construc-

( l ) M. Lofort, ingénieur des Ponts et Chaussées, a étudié une courbe analogue à celle qui vient do nous occuper, dans un Mémoire sur les arches biaises (Annales des Ponts et Chaussées; 1839).

f ion donne les deux courbes P'O'Q' et U'GO'ES'; mais il ne peut passer qu'une ligne de plus grande pente par le point (0,0'). La forme delà courbe U'O'S' montre qu'elle n'est pas la projection d'une ligne de plus grande pente du cylindre, car sa tangente est parallèle à la ligne de terre en deux points E et G, et aucun des plans tangents à la surface n'est horizontal.

Pour ne laisser subsister aucun doute sur cette question, nous avons fait le développement du cylindre; la courbe P"0"Q", transformée de la ligne (POQ, P'O'Q'), coupe à angle droit les sinusoïdes dans lesquelles se changent les sections horizontales; mais la courbe U"0"S", transformée de l'autre partie de l'intersection, rencontre les sinusoïdes sous toutes les inclinaisons. Les deux courbes se rejoignent d'ailleurs a l'infini avec les mêmes asymptotes.

Eu égard au sens de l'inclinaison de la tangente commune TR, la droite O'O" ne coupe la ligne P'Q" qu'au point 0", tandis qu'elle rencontre la ligne U"S" en deux autres points. Ces courbes ont donc des formes essentiellement différentes, et par suite la seconde ne peut pas être une trajectoire orthogonale d'une certaine série de sections parallèles du cylindre.

1080a. Nous conservons les notations adoptées à l'article 1079a, et nous appelons « l'angle C'20'A'4 que les génératrices du cylindre font avec le plan horizontal. L'équation de cette surface est alors

(j — jtanga)» ,y2 ; aMang4» b*

Nous avons trouvé que l'équation de la trajectoire POQ est

En éliminant v, on obtient l'équation suivante de la projection verticale de l'iiitersoct ion des deux cvlindres :

, a- . . la sina — (z cosa — .rsiliz)

:± ■-. - .rsina = : cosa — x sina -f- a si n a lo£ 1 / — -. . •

f>- y a sina -+ (z cosa — x sina)

Nous prenons pour axes des abscisses et des ordonnées les droites O'A' et O'O' : <>n appelant x* et z' les nouvelles coordonnées, nous aurons

x ■=. x' cosa — z' sina, x'-=z z sina -h x cosa, z ~ x' sina 4- z' cosa, z' — z cosa — x sina;

et l'équation de la projection verticale de l'intersection deviendra

i a~ / i - , • * \ > i /asin

:L j~. (x sina cosa — ^ sin2a) — z -f-asinalog 1 / .—

o2 ° y a sin