CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDUES ET DES CONES
similitude n'est complète que quand les sections sont considérées dans toute leur étendue géométrique, ou bien lorsqu'elles sont ainsi limitées à des points homologues.
180. Le cylindre n'étant qu'une variété du cône, on peut lui appliquer les résultats que nous venons d'obtenir, et l'on trouve que les sections faites dans celte surface par des plans parallèles sont identiques et semblablement placées. Si Ton veut une démonstration directe, il est facile d'approprier la démonstration au cas du cylindre, mais il est encore plus simple de remarquer qu'en faisant mouvoir un des plans sécants, de manière que ses divers points décrivent les droites parallèles aux génératrices, la section glissera sur la surface, et viendra se placer exactement sur la seconde courbe.
181. Si nous considérons l'ensemble des sections qu'on peut concevoir faites dans un cône par des plans parallèles, celle du plan qui contient le sommet S se réduira à un point, ou sera composée de lignes droites.
Toute droite située dans le plan sécant, et passant par le point S, devra être considérée comme tangente à la section, car elle aura deux points de rencontre au moins, réunis en un seul. Le raisonnement de l'article 108 n'est pas applicable dans ce cas, et l'on voit que le cône n'a pas à son sommet un plan tangent unique.
Nous aurons plusieurs occasions de revenir sur le théorème du plan tangent et les exceptions qu'il comporte (i).
182. Nous allons terminer la question des sections planes d'un cône, en cherchant comment les bras d'une branche infinie sont disposés par rapport à leur asymptote.
Soient (Q, Q') {fig. io3) le plan sécant que nous supposons perpendiculaire au plan vertical, et (S, S') le sommet d'un cône dont la trace horizontale est la ligne indéfinie GK.
Nous faisons passer par le sommet un plan (AA', A'S') parallèle à (Q, Q'); sa trace horizontale rencontre la courbe GK en un point A qui appartient à une génératrice (SA, S'A') parallèle au plan sécant. L'asymptote de la branche infinie correspondante est la droite (mn9 M'N') intersection du plan donné avec le plan tangent le long de la génératrice qui lui est parallèle.
Un plan (BB\ B'S') passant par le sommet et perpendiculaire au plan vertical coupe le cône et le plan tangent le long de la génératrice (SA, S' A') suivant des droites qui se projettent sur SB et S6, et rencontrent le plan (Q, Q') aux points M et m; ce dernier appartient évidemment à l'asymptote.
Si l'on conçoit que le point B se rapproche de A en entraînant b, les points M et m s'éloigneront indéfiniment et, par conséquent, la courbe s'étend à l'infini en
(i) Voir y à la Table analytique qui est à la fin de la troisième Partie, les articles : Plan de rebrousse ment, Sommets d'une développable, Sommets des surfaces gauches.
