CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. PL. XXV
cylindre. Si Ton conçoit que des points a, , j3M 7,,... on abaisse des perpendiculaires sur les différentes génératrices, en supposant ces lignes entraînées dans les rabattements successifs des plans projetants, nous pourrons les tracer sur le plan horizontal, et nous aurons leurs vraies grandeurs a, a2, j3, 62,.... Si maintenant le plan de section droite tourne autour de sa trace, toutes les perpendiculaires que nous considérons se mouvront dans les plans projetants des génératrices correspondantes, et se placeront sur leurs projections. Mais comme la courbe prendrait une position qui jetterait un peu de confusion sur l'épure, nous avons d'abord transporté la trace g, e, en a2 s29 et c'est à partir de cette ligne que nous avons
porté les longueurs a, a2, j3, 62,...; nous avons ainsi obtenu les points A2,B2,
Pour avoir la tangente en D2, nous opérons sur la parallèle au cylindre menée dans le plan tangent par le point/?, comme nous venons de le faire sur les génératrices elles-mêmes. La ligne ntp2 perpendiculaire à ppt donne le point p2 qui appartient au plan de section droite. La longueur ntp9 est portée de tt2 en P2.
159. Le développement est maintenant facile. Nous portons sur une droite indéfinie B2H2 {fig. 98) les longueurs rectifiées des différents arcs de la courbe A2B2C2... {fig. 97), et par les points de division nous élevons des perpendiculaires. Nous portons sur ces lignes les segments des génératrices pris sur les rabattements des plans projetants; ainsi les longueurs D2d et D2di [fig. 98) doivent être égales respectivement à d2det à d2 dh {fig. 97).
Nous obtenons les tangentes aux points d et dtf en plaçant sur le développement, et dans sa position relative par rapport à la génératrice ddi9 la droite que nous avons menée par le point/) parallèlement au cylindre. Sa distance à ddK est donnée sur la section droite, c'est la ligne P2D2 {fig. 97). Les longueurs P2^, et V2p {fig. 98) doivent être égales à/>a/>, et à p2p {fig. 97).
Les transformées bh et bt A, ont des points d'inflexion. Nous verrons plus loin (art. 169, note) comment on détermine leur position.
On peut reconstruire le cylindre en découpant et en enroulant la feuille sur laquelle le développement est fait. Il faut que la face du papier qui porte la figure soit sur la partie concave; autrement, par suite de l'ordre adopté dans le développement pour la succession des génératrices, on aurait un cylindre symétrique de celui qui est représenté sur h figure 97.
160. La trace du cylindre est un cercle; la section et ses deux projections sont, en conséquence, des ellipses. Les droites CG et AE sont des diamètres conjugués de la projection horizontale, car la première passe par le milieu de la seconde et est parallèle aux tangentes de l'ellipse k ses extrémités. D'après cela les lignes C G', A'E' et C| G,, A, E, seront des diamètres conjugués de l'ellipse en projection verticale et en rabattement. Les lignes C2G2 et A2 E2 sont les axes de la section droite.
161. La droite qui va d'un point (E, E') à son rabattement e, {fig. 97) est inclinée à 45 degrés sur le plan horizontal, parce qu'elle est la corde d'un quart de
cercle. Toutes les autres lignes analogues qui vont des points (A, A'), (B, B'),.,. à leurs rabattements a, , 6,,..., ont la même inclinaison, et sont parallèles dans l'espace. Elles forment ainsi un cylindre dont la courbe (ABC..., A'B'C'...) est la directrice; les points a,, bn c, sont par suite sur une ellipse dont les droites a, eK et g< ct sont deux diamètres conjugués.
La droite ps d% est tangente à cette courbe en </,, car elle est la trace du plan tangent au cylindre dont nous venons de parler, le long de la génératrice qui aboutit au point dK.
On peut considérer la courbe aK bk c{ et la droite /?< dtf comme des projections obliques de la courbe d'intersection ct de sa tangente au point (D, D').
En raisonnant de la même manière pour les points a2, b2, c2,..., on verrait qu'ils forment également une ellipse dont les lignes a2e2 ct g2c2 sont deux diamètres conjugués. La ligne p2 d2 est tangente en d2.
162. Il nous reste encore à déterminer le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe d'intersection, et ceux des courbes transformées qui sont le plus éloignés de la ligne de section droite B2 H2 {fig. 98). Mais comme la figure 97 est déjà un peu compliquée, nous nous contenterons d'indiquer les tracés. Nous traiterons d'ailleurs la question d'une manière générale, et sans faire aucune supposition sur la forme de la directrice du cylindre.
Si l'on coupe la trace abc... par une droite parallèle à Q, les génératrices qui passent par les points d'interseclion rencontreront le plan sécant à une même hauteur; par suite, si nous menons à cette trace des tangentes parallèles à Q, les génératrices des points de tangence contiendront, l'une le point le plus haut, l'autre le point le plus bas de la courbe d'intersection.
Aux points c et g {fig. 97), les tangentes de la trace du cylindre sont parallèles au plan de la section droite; il en résulte que, sur la figure 98, les points c et g sont, l'un le plus bas et l'autre le plus haut de la courbe bah... {fig. 98). Pour avoir les points analogues sur la ligne bt a{ A,,..., il faudrait mener à la courbe d'intersection {fig. 97) des tangentes parallèles à la droite suivant laquelle son plan coupe le plan de section droite; car une sécante de même direction déterminerait deux points a égale dislance de la seclion droite (1).
Il est plus exact de reporter l'opération sur la trace du cylindre. Pour cela, nous remarquerons que si l'on conçoit par l'intersection du plan (Q, Q') et du plan de seclion droite un troisième plan parallèle aux génératrices du cylindre, il sera parallèle aux plans qui seraient tangents à cette surface aux points cherchés. En menant à la trace du cylindre des tangentes parallèles à la trace du troisième plan, les points de contact seront les extrémités des génératrices qui passent aux points qu'il s'agit de déterminer.
(1) Sur la figure g5, le plan de section droite est le plan horizontal, et les points a! et g' qui sont, l'on le plus éloigné et l'autre le plus rapproché de ce plan, sont ceux où la tangente est parallèle à la trace P.
CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXV. 65
Sections planes du cône.
Ier Exemple. — Cône de révolution à axe vertical; plan sécant perpendiculaire au plan vertical;
section elliptique. {Planche XXV!)
163. Nous nous proposons de déterminer l'intersection, par un plan, d'un cône de révolution dont l'axe est vertical. Nous prenons le plan sécant (P, P') {Jig. \ol\) perpendiculaire au plan vertical ; par suite, il projette la courbe sur la partie À' G' de sa trace P', comprise entre les deux génératrices qui forment le coutour apparent de la surface.
Pour avoir la projection horizontale, nous divisons la circonférence trace du cône en un certain nombre de parties égales, placées symétriquement par rapport au diamètre ag parallèle à la ligné de terre. Les projections verticales des génératrices qui passent par les points de division coupent la trace F en des points A', B', C\... qu'on ramène en A, B et Blf C et C,,..., sur leurs projections horizontales.
Cette construction ne peut pas être appliquée aux génératrices qui se projettent sur la verticale S'rf'. Pour déterminer sur les projections horizontales Sd et Sdt de ces droites les points D et D, qui correspondent à D\ on peut couper le cône par un plan horizontal D' d', et tracer le cercle de section sur le plan horizontal de projection avec un rayon S 5 égal à D' d'. Si le cône n'était pas de révolution, on pourrait encore employer le plan horizontal D' ti\ mais il faudrait prendre son intersection avec la génératrice (Srf, S' df) que l'on aurait préalablement fait tourner autour de la verticale du point S, de manière à la rendre parallèle au plan vertical.
Pour la ponctuation des projections", nous avons supposé qu'il s'agissait de représenter un tronc de cône.
164. La tangente en un point F de la projection de la courbe est l'intersection du plan tangent le long de la génératrice S/ et du plan sécant; elle a donc sa trace horizontale à la rencontre des droites // et P, traces des plans. Comme ce point est éloigné, il faut opérer sur un plan horizontal plus élevé, par exemple sur celui qui est à la hauteur du point (D, D'). La génératrice S/le rencontre au point/,, et les nouvelle traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites// et Sd respectivement parallèles à// et P. La tangente Ft passe au point / où ces lignes se rencontrent.
On peut encore d'un point (/,/') pris sur la trace// du plan tangent mener une droite (ImJ'm') parallèle à la génératrice du contact (S/, S'/'); cette ligne sera dans le plan tangent, et le point (m, m') où elle rencontrera le plan sécant appartiendra à la tangente.
165. Pour avoir la courbe en vraie grandeur, nous avons rabattu le plan sécant sur le plan vertical ; un point quelconque (F, F') s'est placé en F" sur la droite FF* perpendiculaire à P', et à la distance a laquelle la projection horizontale F se trouve de la ligne de terre.
On obtient par le même procédé les tangentes sur le rabattement. Nous avons déterminé pour la tangente en F"kles points T et M, rabattements des points (/, D') et (m, m').
166. La courbe d'intersection et sa projection sont des ellipses. Nous pouvons facilement trouver leurs axes.
On voit, par la construction même, que la projection horizontale de l'intersection est symétrique par rapport h la droite ASG perpendiculaire à P. Cette droite est donc un axe de la courbe. Le centre est au point milieu 0. De même l'ellipse d'intersection a l'un de ses axes sur la ligne ( AG, A7 G'), et son centre en (0, 0'). Le second axe se projette verticalement au point 0'; en coupant le cône et le plan sécant par le plan horizontal O'w', nous déterminons les points û et û, de la projection horizontale. La ligne iïïî, est la projection du second axe et le second axe de la projection.
En général, les projections des axes d'une ellipse sontsimplement des diamètres conjugués de la projection; mais si l'un d'eux est parallèle au plan de projection, comme cela arrive ici, lesdiamètres conjugués comprennent un angle droit^art.46) et sont par conséquent les axes.
Traçons une droite S' H parallèle a XY : en considérant un point quelconque (B, B') de la section, on trouve facilement que le rapport de BS à B'H est constant. On en conclut que le point S est un des deux foyers de l'ellipse AG, et que la directrice correspondante est la projection horizontale de la droite d'intersection du plan (P, P') avec le plan horizontal S' H.
On obtient sans difficulté les droites A" G'' et Q'G'1V axes de la courbe rabattue.
167. Toutes les génératrices ont la même longueur depuis le sommet jusqu'au plan horizontal. Il en résulte que, dans le développement, la transformée de la circonférence de la base est un arç de cercle dont les génératrices sont les rayons. Après avoir tracé (Jîg. io5) une partie suffisante de la circonférence dont le rayon est S' a* (fig. io4), nous prenons sur cette ligne des longueurs curvilignes égales aux arcs aby bc, ... ; nous traçons les rayons correspondants, et nous portons sur eux les longueurs des génératrices comprises entre le sommet et le plan sécant. Pour déterminer ces longueurs, nous rendons les droites parallèles au plan vertical (art. 16); leurs projections sur ce plan viennent se confondre avec la ligne S'#\ et les points d'intersection se transportent sur des horizontales jusqu'à cette droite. Chaque longueur, telle que S'd', doit être portée sur les rayons correspondants Sd et Srf, {fig. io5), a partir du centre S.
Nous avons supposé que la surface était coupée suivant la génératrice (Aa, A'af),
CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES^ET DES CONES. — PL. XXV. 67
et pour montrer la continuité de la transformée de la courbe, nous l'avons prolongée de chaque côté sur la partie qui correspond à un des secteurs coniques.
On peut obtenir la grandeur des segments curvilignes ab9 bc,... en décomposant une division du cercle de base en petites parties qu'on puisse assimiler k des droites, et les reportant sur Tare qui a pour rayon la génératrice du cône; mais, comme les erreurs peuvent s'accumuler, il est plus exact de calculer la grandeur en degrés de l'arc qui représente la circonférence de base, de déterminer avec un rapporteur son amplitude sur le développement, et de la partager ensuite en parties égales. La
grandeur angulaire de cet arc est 4c? 36o°. Le rapport de a S à a' S' sera souvent
donné par la question même; dans tous les cas, on pourra le trouver en mesurant ces lignes.
11 est peu dans l'esprit de la Géométrie descriptive d'employer ainsi le calcul comme auxiliaire, mais il n'y a pas de règle absolue.
168. Les angles de la courbe avec la génératrice ne sont pas altérés dans le développement (art. 122). Nous aurons donc la tangente au point F (fig. jo5), en appuyant sur la génératrice les constructions qui, dans le plan tangent, feraient trouver la tangente à l'ellipse. On peut supposer que la surface, en se déroulant, recueille dans les différents plans tangents les lignes que l'on peut y concevoir et les entraîne avec elle.
D'après cela, nous plaçons sur la figure io5 les droites// et^* de la figure io4 dans une direction perpendiculaire à S/; nous traçons Im parallèle a S/, et nous lui donnons la longueur l\m' [fig. io4), véritable grandeur de (lm, l'm'). L'un ou l'autre des points t ou m suffit pour le tracé de la tangente.
169. Il est utile de déterminer les inflexions de la transformée; nous allons démontrer qu'elles se trouvent au point où le plan sécant était normal à la surface.
Nous remplaçons d'abord le cône par une pyramide circonscrite que nous supposons coupée par un plan (P, P') {fig. 107) perpendiculaire à l'une de ses faces (GE, G'S'E'). Cette face est parallèle au plan vertical de projection; elle touche le cône le long de la droite (S, S'I).
La section est projetée verticalement sur la trace P' du plan, et nous aurons sa transformée par développement en amenant par des rotations les diverses faces triangulaires dans le plan GSE parallèle au plan vertical.
Dans le mouvement de rotation de la face F'S'G' autour de S'G', le point A' décrit un arc de cercle dont le centre est au pied a de la perpendiculaire abaissée du point A' sur S'G', et vient se placer en un point A't, à une distance de a égale à la vraie grandeur de cette perpendiculaire. Le point D' va de même en un point D\ sur la perpendiculaire dD' à S'E'. La partie de la section projetée verticalement sur A'B'C'D'est donc en développement A^B'CD',.
Le point A't est dans celui des deux angles A'B'S' et A'B'G' qui est obtus; il en
est de même du point D', par rapport aux angles D'C'E', D'C'S'. Il est d'ailleurs facile de voir que, quand les points B' et C seront placés d'un même côté du piedO de la perpendiculaire abaissée du sommet S' sur P', les angles obtus, et par suite les points A', et D', se trouveront de côtés différents de la droite P'. Or, à moins que la perpendiculaire S'O ne se confonde avec la génératrice S'I du cône, les droites S'G' et S'E' pourront toujours être assez rapprochées de cette dernière ligne pour que la condition que nous venons d'indiquer soit satisfaite. Nous voyons donc que, lorsqu'on multiplie les faces de la pyramide pour revenir au cône, les sommets A't et D\ , qui pouvaient d'abord se trouver d'un même côté de B'C prolongé, arrivent nécessairement à se placer de côlés différents.
Quand le plan sécant est perpendiculaire a la génératrice S'I {fig. 108), les points A\ et D', sont du côté de P' où se trouve le sommet S', quelle que soit la grandeur de l'angle G'S'E'.
En résumé, dans le développement d'un cône, la transformée d'une section faite par un plan traverse sa tangente là où le plan était normal à la surface, à moins toutefois qu'il ne fût perpendiculaire à la génératrice (i).
Ces résultats s'étendent naturellement au cylindre, qui est une variété du cône; ainsi il est facile de voir qu'au point où nous avons reconnu que la section plane d'un cylindre prenait une inflexion dans le développement (art. 145), le plan sécant est normal à la surface (2).
Nous n'avons indiqué sur les projections horizontales des figures 107 et 108 ni les arêtes, ni la section de la pyramide, parce que ces lignes ne sont pas nécessaires k la démonstration, et qu'elles auraient pu jeter un peu de confusion.
170. Revenons à la figure 104. Du point D' où le plan coupe l'axe, nous abaissons une perpendiculaire D'A' sur S'#'; cette droite, en tournant autour de l'axe, engendre un cône de révolution qui rencontre orthogonalement le cône donné sui-
(1) On peut démontrer ces propositions d'une manière directe et très-simple, si l'on admet, ce qui est à peu près évident, que la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une surface entre deux points a tous ses plans oscillateurs normaux à la surface; car une telle ligne tracée sur un cône a pour transformée une droite, d'où il résulte que la circonstance d'avoir un plan osculateur normal suffit pour que lo rayon do courbure de la transformée au point correspondant soit infini.
Pour que la transformée d'une courbe plane tracée sur un cône ait un contact du troisième ordre avec sa tangente, il faut que son plan soit perpendiculaire à deux plans tangents consécutifs, et, par suite, à leur intersection, qui est la génératrice de la surface.
Quand nous parlerons des surfaces développables, nous montrerons que les courbures d'une ligne tracée sur une telle surface, et de sa transformée par développement, sont liées par une loi très-simple dont la proposition que nous avons démontrée n'est qu'un corollaire.
(2) Sur lajîgurc 98 les points d'inflexion de la courbe bah sont a de. Pour la courbe btathï} il faut déterminer les génératrices le long desquelles le plan tangent est perpendiculaire au plan (Q, C) (./fe.97). Pour cela, par un point quelconque de l'espace, on mènera deux droites, Tune parallèle aux génératrices, l'autre perpendiculaire au plan (Q, Q') ; on fera passer un plan par ces lignes, et on cherchera les points de la trace abcd où la tangente est parallèle à la traco de ce plan.
CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES COiSES. — PL. XXVI. 69
vant le cercle décrit par le point k'. Le plan (P, P') contient les deux génératrices (SI, DT) (SI,, DT) du cône auxiliaire ; il est donc normal au premier cône en deux points (I, F) et (I,, I'), qui, rapportés sur la figure io5, sont les points d'inflexion de la transformée. On construit les tangentes It, I« t, comme toutes les autres ( i ). 171. Il n'y aura d'inflexion que quand le plan sécant coupera le cône auxiliaire; d'après cela, si l'on appelle e et y les angles aigus que l'axe fait avec les génératrices et le plan de section, on aura
e -+- Tt <go° deux inflexions, e -+- r, > 900 pas d'inflexion.
Les transformées de la section elliptique et de la base circulaire (fig. io4 et io5) donnent des exemples de ces deux cas.
Quand les angles s et y? sont complémentaires, le plan sécant est normal en un seul point et perpendiculaire à la génératrice de ce point; par suite la transformée ne traverse pas sa tangente (art. 169), mais elle a un contact plus intime avec elle, car cette circonstance se produit quand deux points d'inflexion se réunissent.
Ces divers cas peuvent indifféremment se présenter pour les transformées de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole; toutefois il faut remarquer que si l'angle £ est plus grand que 45 degrés, aucune des ellipses et des paraboles que Ton peut concevoir tracées sur le cône ne prendra d'inflexion clans le développement, et que si £ est plus petit que 45 degrés, toutes les transformées des paraboles et des hyperboles auront deux inflexions.
II* Exemple. — Cane de révolution à axe vertical; plan sécant perpendiculaire au plan vertical; section hy/jerbolique . (Planche XXF1.)
172. Un plan (mm', m'[x') (fig. 106) passant par le sommet et parallèle au plan sécant (P, P') divise les génératrices en deux groupes : celles du premier groupe ont leur trace sur l'arc mami9 et rencontrent le plan au-dessous du sommet; celles du second ont leur trace sur Tare mbmi9 et rencontrent le plan au-dessus du sommet. L'intersection est ainsi formée de deux parties, et pour ne pas négliger l'une d'elles, nous considérons les deux nappes du cône, que d'ailleurs nous limitons à des plans horizontaux et parallèles.
On peut construire la courbe en cherchant les points où un certain nombre de génératrices percent le plan, mais comme les recoupements seraient assez obliques,
(i) On peut encore construire les génératrices de contact des plan3 tangents perpendiculaires au plan sécant en menant par le sommet (S, S') du cône une perpendiculaire au plan (P, P'), et en faisant passer par cette droite des plans tangents au cône.
il est préférable de déterminer les intersections du cône et du plan par divers plans horizontaux. Nous ne reviendrons pas sur ce tracé, que nous avons déjà expliqué à l'article 163.
173. La génératrice (S/n, S' m') est parallèle au plan, et les génératrices des deux groupes qui sont voisines de celle-là ne le rencontrent que très-loin. La courbe présente ainsi deux bras qui s'étendent en sens contraire, 1 un sur la nappe supérieure, l'autre sur la nappe inférieure, et se rejoignent à l'infini, au point où la génératrice (S/n, S' m7) atteint le plan.
On détermine l'asymptote, comme toute autre tangente, en prenant l'intersection du plan sécant avec le plan qui touche le cône au point correspondant de la courbe, qui est le point situé à l'infini. Ce plan est tangent tout le long de la génératrice (S/n, S' m'); sa trace horizontale est la ligne me, et le point e9 où elle rencontre la trace P du plan, appartient à l'asymptote.
L'asymptote est parallèle à la génératrice (S/n, S'/n'), parce que ces lignes se rejoignent en un point situé à l'infini. On peut encore dire que le plan (P,^) étant parallèle à (S/n, S'/n') coupe un plan qui contient cette génératrice suivant une ligne qui lui est parallèle.
Les constructions pour déterminer l'asymptote peuvent être faites sur le plan horizontal supérieur. La génératrice S/n perce ce plan en /x; les traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites fis et es, : leur point de rencontre s appartient à l'asymptote.
La génératrice (S/n,, S'/n') également parallèle au plan sécant détermine une seconde branche infinie, dont l'asymptote e,e, est obtenue de la même manière.
174. La courbe est une hyperbole. Son axe transverse est la droite (aSô, F) parallèle au plan vertical. On détermine sans difficulté les sommets (A, A') et (B, B'), et le centre (0, 0').
On construit le rabattement par les procédés déjà expliqués pour l'ellipse (art. 165).
175. Dans le développement, les différents cercles ont pour transformées des arcs de cercles concentriques dont les rayons sont les segments des génératrices; on les trouve en vraie grandeur sur la droite a' a'. Nous traçons tout d'abord des longueurs suffisantes de ces arcs, et nous plaçons la génératrice Sb {fig. 109).
Nous supposons la surface coupée suivant la génératrice (aa, a'a')9 et nous portons à partir du point b {fig. 109), sur le cercle décrit du point S comme centre avec S'a' pour rayon, des longueurs curvilignes égales à la demi-circonférence ba {fig. 106). Traçant ensuite les droites aSa et a, Sa, {fig. 109), nous avons les deux positions que prend la génératrice (aa, a' a'), et qui limitent le développement de la surface.
Pour voir où un point (G, G') de la section doit être placé, nous portons sur le cercle décrit avec la longueur S' g' pour rayon, et à partir du point g de la droite
CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXVI. 71
Sa {fig. 109), une longueur curviligne gG égale à Tare désigné par les mêmes lettres sur la figure 106.
176. Nous donnons aux génératrices m/x, tw,jx, les positions qui leur conviennent. Dans le développement, les asymptotes restent parallèles à ces lignes et à la même distance d'elles : ce sont les droites et et eK s,.
Vu la symétrie de la figure, les asymptotes de la transformée se coupent sur Taxe 6B du développement, mais leur point de rencontre ft n'a rien de commun avec le centre (0, 0') de l'hyperbole {fig. 106).
Quand la surface se déroule, à chaque instant la partie déjà développée se trouve dans un plan tangent et y recueille les tangentes qui s'y trouvent. Les tangentes placées dans des plans tangents différents changent ainsi de position les unes par rapport aux autres; il en est de même des asymptotes.
Si l'on prend sur les asymptotes de la transformée les longueurs eO, e,0, égales à e"0"et e\ 0" {fig. 106), on aura les points 0 et 0,, qui, avant le développement, étaient réunis au centre de l'hyperbole.
Les transformées des deux arcs de la courbe peuvent être tracées sans difficulté. Lès nappes sont développées suivant les polygones mixtilignes 6N, A< SANô et Bn^fSalIB. La nappe supérieure recouvre en développement une partie de la nappe inférieure; cela arrive quand la longueur développée du cercle de base est plus grande que la moitié de la circonférence dont le rayon est S' V {fig. 106), c'est-à-dire quand a' b' surpasse S' b'. Lorsque le triangle a'S' V est équilatéral, les deux nappes se rejoignent en développement, sans se recouvrir.
La construction exposée à l'article 168 fait trouver deux points d'inflexion I et I,. Les inflexions sont peu sensibles; cependant on voit qu'elles existent, parce que la courbe à son sommet B tourne sa concavité vers le point Q où ses asymptotes se croisent.
177. Si l'on suppose que le plan sécant tourne autour de sa trace P et prenne sur le plan horizontal la même inclinaison que les génératrices, il sera parallèle à {aa, à a') {fig. 106) et au plan qui touche le cône le long de cette droite. La courbe présentera une branche infinie, mais son asymptote, intersection de deux plans parallèles, sera à l'infini. On sait qu'elle est alors une parabole.
Cas général.
178. Les deux casque nous venons de traiter donnent entièrement la solution du problème de la section d'un cône par un plan pour ce qui concerne les projections et la vraie grandeur de la courbe d'intersection.
On fait d'abord passer par le sommet du cône un plan parallèle au plan sécant; les génératrices qu'il peut contenir déterminent des branches infinies, et les inter-
sections des plans tangents correspondant avec le plan donné sont les asymptotes.
Quand un cône n'est pas de révolution, pour faire le développement il faut partager le périmètre de la base en petites parties que Ton puisse considérer comme droites, puis déterminer les vraies grandeurs des génératrices qui aboutissent aux points de division. On a alors les longueurs des trois côtés d'une série de triangles qu'on peut construire sur un plan, à la suite les uns des autres.
Eu égard au grand nombre de petites longueurs qu'il faut employer, cette méthode ne donne des résultats exacts que quand les constructions sont faites avec beaucoup de soin.
Nous devons cependant faire observer que les recoupements ont généralement lieu sous des angles assez ouverts.
Observations sur les sections planes des cônes y la disposition des bras de leurs branches infinies 9 et les plans tangents h ces surfaces.
1 79. Les sections des cônes par des plans parallèles sont des courbes homolhétiques.
Pour prouver ce théorème, nous allons comparer la trace horizontale A d'un
cône (fig. 101) avec la section de cette surface par un plan horizontal ocy. La gé-
nératrice.qui passe par le point (M, M') de la trace A, rencontre le plan xy en un
point (iw, m'), et l'on a
SM S'M'S'H S/n~~~S'm' ~" S'A*
Le rapport de deux rayons vecteurs situés sur une môme droite est donc constant, et par suite le points est un centre commun de similitude pour les courbes A et a. La similitude est inverse; il est facile de voir qu'elle serait directe, c'est-à-dire que les rayons vecteurs proportionnels seraient dirigés dans le même sens, si les deux plans XY et ocy étaient d'un même côté du sommet.
Si nous supposons la courbe a non plus sur le plan horizontal de projection, mais remise dans le plan xy, les deux sections seront encore semblables et semblablement placées, mais le centre commun de similitude sera le sommet (S, S') du cône.
Les droites SG et SG,, qui sont tangentes à A et passent parle points, ont leur prolongement tangent à a. Ce sont les projections des génératrices qui forment le contour apparent de la surface par rapport au plan horizontal (art. 120). Les points G, G,, g et gt sont leurs traces sur les plans de section.
Nous supposons le cône terminé à deux plans B'zt' et bW perpendiculaires au plan vertical, et par suite les courbes A et a ont été limitées Tune aux points B et B,, l'autre aux points b et &,. Ces points sont homologues dans les deux courbes. La
