SURFACES DE RÉVOLUTION

Définition et principales propriétés.

185. La surface qu'une courbe plane BC (fig. 102) engendre en tournant autour d'une droite AZ contenue dans son plan est dite de révolution. La droite fixe est Yaxede la surface; la courbe génératrice en est la méridienne; son plan est le plan méridien.

Quand la méridienne est symétrique par rapport à l'axe, comme un cercle tournant autour de Pun de ses diamètres, il lui suffît d'une demi-révolution pour engendrer toute la surface. Dans le cas contraire, une révolution complète est nécessaire; alors chaque plan passant par l'axe contient deux courbes identiques dans des positions symétriques.

Un point quelconque M de la méridienne décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre 0 est sur l'axe. Ce cercle a reçu le nom de parallèle.

On peut considérer la surface comme engendrée par un cercle mobile soumis aux conditions de rencontrer une courbe bc, d'avoir son centre sur une droite AZ, et d'être dans un plan perpendiculaire a cette ligne. La directrice bc engendrerait la surface par sa révolution autour de l'axe; si elle est plane, et si son plan contient l'axe, c'est la méridienne dans une de ses positions.

186. En un point quelconque M de la surface, la tangente MT au parallèle, étant perpendiculaire au rayon OM et a l'axe OZ, l'est aussi au plan de ces deux lignes, qui est le plan méridien du point M. Le plan tangent au point M contenant MT sera également perpendiculaire au plan méridien. Ainsi, tout plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien du point de contact.

La normale MN à la surface au point M, étant perpendiculaire au plan tangent, se trouve dans le plan méridien, et par conséquent va rencontrer l'axe en un point N.

Si le plan méridien OMN tourne autour de AZ, en entraînant toutes les lignes qu'il contient, la droite MN engendrera un cône de révolution dont le parallèle sera la base; elle rencontrera donc toujours à angle droit la tangente de ce cercle, et par suite elle sera normale a la surface, car elle l'est déjà à la méridienne dans toutes ses positions. Ainsi les normales aune surface de révolution, aux différents points (T un même parallèle, forment un cône de révolution dont le sommet est sur Taxe.

îo.

187. Quand on veut résoudre des problèmes relatifs à une surface de révolution, on prend l'un des plans de projection perpendiculaire à son axe; c'est généralement celui que Ton considère comme horizontal. Les deux projections de Taxe sont alors un point 0 et une verticale 0' Z [fig. 1 10). On appelle/?Za/i méridien de

front le plan passant par l'axe et parallèle au plan vertical. La méridienne qu'il contient se projette en vraie grandeur sur le plan vertical; dans l'épure qui nous occupe, elle se compose de deux courbes identiques G'B'E'C et G\ B\ Ët Ct symétriquement placées par rapport à Taxe.

188. Proposons-nous de trouver la projection verticale du point de la surface dont la projection horizontale est un point donné m. Si nous supposons que le point cherché se transporte sur son parallèle jusque dans le plan du méridien de front, sa projection m décrira un arc de cercle dont le point 0 sera le centre, et se placera en n sur OB ; sa projection verticale se trouvant alors sur la méridienne G'E' sera nécessairement ri ou n". Si nous ramenons maintenant le point dans sa position, sa projection verticale se transportera horizontalement en m! ou m", en regard du point m.

On eût trouvé les mêmes points rri et m" en transportant le point m sur la projection B, C, de la méridienne inverse.

Si la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point n n'avait pas rencontré la méridienne de front, il n'y aurait pas eu de solution; il faut donc que le point n soit entre les points C et B, ce qui nous montre que les parallèles des points (C, C) et (B, B') forment le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. En tous les points de ces parallèles la tangente au méridien est verticale, et le plan tangent qui la contient est également vertical.

189. Si l'on avait donné la projection verticale m' d'un point de la surface, on eût trouvé la projection horizontale correspondante par la même construction faite en ordre inverse. Ainsi le point m' aurait été porté sur la méridienne de front en ri par une horizontale, puis projeté en n sur CB, et ramené par un arc de cercle en regard de m', en m ou m0.

L'horizontale du point rri coupe la méridienne en un second point N' qui fait trouver deux autres solutions M et M0.

On reconnaît facilement que le point rri ne serait la projection d'aucun point de la surface, s'il était en dehors du périmètre mixliligne G'B/E'E'1B'1G'1. On voit ainsi que le contour apparent de la surface sur le plan vertical est formé par les deux segments de droite E'E'j et G'G'j, et par les deux demi-cercles E'B'G',

Si le point rri se trouvait dans l'intérieur de l'une des deux méridiennes G'E' ctG'jE^, on n'aurait que deux solutions. Les arcsG'C'E'etG'1C1E'1 ont le caractère de contour apparent pour la partie intérieure de la surface; ils formeraient réellement le contour apparent d'un corps qui serait engendré par la révolution de l'aire