CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. — PL. XXVIII

G'C'E'rf'a'. En tous les points des deux méridiennes de front E'G' et E\G\9 la tangente du parallèle est perpendiculaire au plan vertical, et le plan tangent qui la contient est également perpendiculaire à ce plan.

190. Proposons-nous maintenant de construire le plan tangent au point (m, m') de la surface (fig. 1 10).

Pour avoir au point donné la tangente de la méridienne» nous amenons cette courbe dans le plan méridien de front par une rotation autour de Taxe; le point (m, m') se place en (n, ri); nous pouvons tracer la tangente /i'F', et déterminer le point F où elle perce le plan horizontal. Si la méridienne est ramenée dans sa première position» le point F décrit un arc de cercle autour du point 0 et s'arrête en/, la tangente se meut sur un cône de révolution dont le sommet est au point K de Taxe, et ses projections définitives sont/wo/*, m'Kf; ses traces/et H' appartiennent aux traces du plan tangent.

Ce plan contient encore la tangente du parallèle, qui est horizontale et perpendiculaire à mf: sa trace horizontale/ L est donc aussi perpendiculaire a mf; sa trace verticale est déterminée par les points H' et L.

Pour démontrer la perpendicularité de/L sur/m, on peut dire que O/est la projection de la normale à la surface, ou encore que, le plan horizontal et le plan tangent étant l'un et l'autre perpendiculaires au plan méridien Om, leur intersection, qui est la trace/ Lv est perpendiculaire au plan méridien, et par suite à sa trace.

En menant la droite n'R perpendiculaire à n'F', nous déterminerons sur Taxe le point R, sommet du cône formé par les normales a la surface le long du parallèle (mn9 m' ri). La droite Rm' est donc la projection verticale de la normale au point (m, m')f et elle doit par suite rencontrer à angle droit la trace H'L du plan tangent (art. 40).

191. En raisonnant comme nous l'avons fait pour le cône a l'article 181, on reconnaît qu'une surface de révolution n'a pas de plan tangent unique aux points où la méridienne rencontrerait Taxe obliquement, mais en ces points-là seulement.

Au point (n, ri) {fig. i io) les tangentes au méridien et au parallèle sont de côtés différents de la surface; le plan qui contient toutes les tangentes coupe donc la surface. Nous rencontrerons d'autres exemples de cette disposition, qui conduit à une question intéressante dont nous aurons à nous occuper dans la seconde Partie de cet Ouvrage.

Le plan tangent au point (N, N') ne coupe pas la surface et n'a que ce point de commun avec elle.

Enfin le plan du parallèle supérieur G'G't et celui du parallèle inférieur E'E', sont tangents chacun tout le long du parallèle qu'il contient.

Sections planes. — (PL XXIX, fig. 112.)

192. La méridienne est (ED, E'D), l'axe (0, 0"Z); Ra et a'H' sont les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front aT. Ce plan est notre plan vertical ; mais, pour empêcher les deux projections de se superposer, nous l'éloignons de la longueur aa' avant de le rabattre.

Nous coupons le plan et la surface par une série de plans horizontaux convenablement espacés. Les sections du plan donné sont des droites parallèles à &R, dont on obtient les projections horizontales en ramenant en /3,y,... les points |3', 7',... où la trace a'H' rencontre les horizontales |3'B", 7' C", ..., traces verticales des plans auxiliaires. Les sections de la surface sont des parallèles qui se projettent horizontalement en vraie grandeur. Les rencontres respectives des droites et des cercles donnent, sur le plan horizontal, les points i,3,3,... qu'on relève sur les projections verticales des parallèles en i',2',3\...

193. On reconnaît par la construction même que l'intersection du plan donné avec le plan méridien qui lui est perpendiculaire est un axe de la courbe. La projection horizontale OR de cette droite est également un axe de la projection de la courbe. Sur le plan vertical la droite O'R', rencontrant obliquement les cordes horizontales qu'elle partage en parties égales, est simplement un diamètre de la projection.

Pour avoir les points où le plan vertical OR rencontre l'intersection, nous le faisons tourner autour de l'axe, de manière à le rabattre sur le plan méridien de front. La droite (OR, O'R') devient (OR,, O'R',) et coupe la méridienne D^E^ aux points (i»it mt) et (/i,, n\) qu'on ramène l'un en (m, m') et l'autre en (/i, ri). A ces points, la tangente est horizontale, et par suite ses projections sont respectivement parallèles k Ra et k la ligne de terre.

La tangente est également horizontale aux points (6,6') et (i3, i3') qui sont situés sur le parallèle supérieur, et qui, par conséquent, sont les plus élevés de la courbe.

La construction qui nous a donné les points (rn^rri) et (nf ri) peut servir pour déterminer les points de l'intersection situés sur un méridien quelconque, et par suite pour tracer la courbe.

194. La tangente en un point (5, 5') de l'intersection est contenue dans le plan tangent et dans le plan sécant. Si nous ramenons le point considéré dans le plan méridien de front par une rotation autour de Taxe, il se placera en (B, B') et nous pourrons tracer la tangente B'T' à la méridienne. Elle perce en (T, T'} le plan horizontal 17', 2' que nous choisissons pour cette construction. Nous ramenons le point T en T, sur la droite 05, et la trace du plan tangent est la droite T,T2» perpendiculaire k OT,. La trace du plan sécant sur le point horizontal choisi