CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES COURBES. — PL. XLI

par conséquent sur les prolongements des cordes. Aucun point ne lui correspond sur la projection horizontale : il appartient à la partie parasite. On peut en général prolonger ainsi la courbe G'E' au delà des extrémités de Tare utile.

Le rayon du plus petit cercle qui rencontre les deux méridiennes est 07'; celui du plus grand O'R'. Les points P' et Q' qui leur correspondent sont les derniers que nous puissions obtenir par la méthode générale qui fait connaître la partie utile de la projection verticale de l'intersection. L'arc parasite s'étend au delà, si les méridiennes sont des courbes géométriques; mais on ne peut le tracer qu'autant que Ton connaît la loi de leur génération (i).

Sur notre épure, les méridiennes sont des ellipses, et le plan vertical SH peut être considéré comme principal par rapport à chacune des deux surfaces. L'arc P'Q' appartient donc à une courbe du second degré (art. 249); mais on compliquerait inutilement la question si Ton voulait avoir égard à cette circonstance pour son tracé (2).

2o9. La tangente en un point quelconque (M, M') est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces.

Si nous supposons que la tangente B'S' du méridien principal au point B' soit

(1) En prenant pour méridiennes des courbes du second degré, M. Poncelet a montré qu'on pouvait déterminer des points au delà des extrémités P' et Q', en construisant des sécantes idéales communes aux cercles auxiliaires et aux méridiennes (Traité des propriétés projectives ; art. 60, 61, et Note de la page 4 10 dans la deuxième édition.

(a) La courbe est une hyperbole, parce que les deux ellipsoïdes sont allongés; elle serait également une hyperbole si les ellipsoïdes étaient tous les deux aplatis. On trouve une ellipse quand Tune de ces surfaces est allongée et l'autre aplatie, une parabole lorsque Tune d'elles est une sphère, et une droite dans le cas de deux sphères. Quand les axes sont parallèles, la courbe est une parabole, et une ligne droite si, déplus, les ellipses méridiennes sont semblables.

Du centre des sphères auxiliaires on peut abaisser sur chaque méridienne deux normales (réelles ou imaginaires), en outre do celles qui sont confondues avec l'axe de révolution. Quand ces normales sont de même longueur pour les deux courbes, l'hyperbole se change en deux droites, ou l'ellipse en un point. On voit, en effet, qu'une même sphère est alors circonscrite en deux ellipsoïdes (art. 252, 3°). Cette sphère peut avoir un contact idéal avec une des surfaces, ou avec les deux; elle peut aussi devenir imaginaire.

M. Catalan a démontré que, quand chacune des ellipses méridiennes a un de ses foyers au point de rencontre des axes, l'intersection est le système de deux droites. La règle générale que nous venons de donner est satisfaite dans ce cas, car dans une conique les normales imaginaires abaissées de l'un des foyers sur la courbe ont une longueur nulle, et par suite ces lignes sont égales dans les deux ellipses. La sphère circonscrite est alors réduite à un point.

D'après ce que nous avons dit, la nature de la courbe est indépendante de l'angle des axes.

Si l'un des ellipsoïdes glisse sur son axe, la projection verticale de l'intersection se transporte en restant homothétique à elle-même, et son centre décrit une ligne droite. Nous ferons enfin remarquer que la courbe passe par les points d'intersection des méridiennes, et qu'elle a par conséquent avec ces lignes les relations qui existent entre les sections coniques qui ont quatre points communs (M. Lamé, Examen des différentes méthodes, etc., p. 34; M. Poncelet, Prop. projec, p. 216). Si l'on veut déterminer ses axes, on pourra employer les méthodes générales données par M. Poncelet (Prop. project., art. 344 et suiv., 394 et suiv.).

Ces diverses considérations ont peu d'importance pour les tracés, mais nous avons cru devoir donner quelques indications sur une question intéressante à plusieurs points de vue.

Io8 LIVRE H. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

entraînée dans le mouvement de révolution autour de l'axe, la trace S décrira un arc de cercle autour du point 0, et sera en S, sur la ligne OM quand le point (B, B') se trouvera en (M, M'). La trace du plan tangent à la première surface de révolution est la ligne S, I, perpendiculaire à OS,.

Nous ne pouvons pas employer cette construction pour le plan tangent à la seconde surface, vu la position inclinée de Taxe; maison arrive presque aussi facilement au résultat en déterminant la normale et lui menant un plan perpendiculaire.

La normale à la méridienne en b' rencontre Taxe au point k\ que nous ramenons horizontalement en k. Le point (k, K) est le sommet du cône formé par les normales à la surface, le long du parallèle dont le centre est en j3' (art. 186). La droite (*M, #M')^est donc normale au point (M, M').

Nous faisons maintenant passer par ce point une droite parallèle à la trace verticale du plan tangent cherché (art. 41); ses projections sont les lignes Mi et M Y, Tune parallèle à la ligne de terre, et l'autre perpendiculaire à M'k' : elle perce le plan horizontal en i. La trace du plan tangent passe par ce point et est perpendiculaire à Mk. Le point I, où se rencontrent les traces des plans tangents, appartient à la tangente, qui est ainsi (MI, M'Y).

260. La courbe E' G' ayant été déterminée par des constructions faites uniquement sur le plan vertical, la tangente MT doit pouvoir être obtenue sans l'intervention des projections horizontales.

La tangente de l'intersection au point quelconque (M, M') est perpendiculaire à la normale de chacune des surfaces, et par suite au plan de ces deux droites : la projection de la tangente est donc perpendiculaire à la trace de ce plan. Les sommets des cônes formés par les normales le long des parallèles B'B" et b'$' sont aux points K' et #, et par conséquent la droite lSJk' est la trace du plan des normales sur le plan méridien SH commun aux deux surfaces. On obtient la projection verticale de la tangente, en menant du point M' une perpendiculaire M' Y à K'#.

Cette construction peut être appliquée aux points extrêmes E' et G', et même à ceux qui sont situés sur les arcs parasites G'P' et E'Q'. Ainsi, les normales des méridiennes aux points D' et d rencontrant les axes en V et s/, la tangente de la courbe en N' est perpendiculaire à VV.

La tangente MI peut être déterminée par la condition d'être perpendiculaire à la trace horizontale du plan des normales. Gomme cette droite serait éloignée, nous allons opérer sur un plan horizontal convenablement élevé, celui dont la trace verticale est ocy. Ce plan est rencontré au point (u, u') par la normale (Mk, M'k?), et en (£,, k\) par la droite (Ok, K'£'), qui passe parles points où les normales coupent les axes. La trace du plan des normales est donc uk{ ; la tangente MI est perpendiculaire à cette droite.

Pour déterminer la droite uki9 nous ne nous sommes pas servi de la trace horizon-