CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES COURBES. — PL. XL. Io

tude, et sans tracer la projection horizontale du parallèle, en portant la longueur r20 à partir des points m et n sur des droites parallèles à r, 0. Les points 2 et i4 sont ensuite relevés sur le plan vertical, en 2' et i4'.

On obtient les points de l'intersection situés sur le deuxième parallèle contenu dans le plan auxiliaire, en traçant un cercle du point r2 comme centre, et avec un rayon égal à 0'2E'. Cette construction n'est pas indiquée sur la figure.

255. Nous déterminons la tangente au point (i4. i4')» en construisant, sur le plan horizontal PI/, les traces tL etgL des plans tangents à la surface de révolution et au cylindre. Si nous supposons que la tangente C'T du méridien principal soit entraînée dans le mouvement de révolution, sa trace T décrira un arc de cercle autour du point 0, et sera en t sur la droite 0, i4 quand le point (C,C) se trouvera en (14, i4')- La trace tL du plan tangent à la surface de révolution est la perpendiculaire à 0* menée par le point t (art. 190). La trace du plan tangent au cylindre passe par le point g, ramené de g sur n.i4t et est parallèle à la tangente de la trace GG4 au point n.

Intersection d'une surface de révolution et d'un cône. {Planche XL.)

256. Quand le cylindre qui coupe la surface de révolution est remplacé par un cône, il faut modifier la construction en projetant sur le plan horizontal les sections horizontales auxiliaires des deux surfaces, non plus par des obliques parallèles, mais par des droites qui divergent du sommet du cône. Les sections du cône sont projetées sur sa trace, et celles de la surface sur des cercles dont on détermine facilement le centre et le rayon.

Le point (S, S') est le sommet du cône, et la courbe GG, sa trace horizontale.

Considérons le plan horizontal B'0'B't : les traces K etft des droites (SO, S'O') et (SB, S'B'), qui, venant du sommet (S, S'), passent l'une par le centre et l'autre par un point quelconque du parallèle, sont le centre et l'un des points de te projection conique de ce cercle (art. 183, note). Le parallèle ainsi amené sur le plan horizontal rencontre en n et en m la trace GG, : il n'y a plus qu'à reporter ces points dans leur véritable position par les génératrices (S/*, SV) et (Sm, S' m'); on trouve les points (9, 9') et (3, 3'), qui appartiennent à l'intersection.

Nous avons ponctué la figure en supposant que le cône était enlevé.

La construction de la tangente ne présente aucune difficulté. tL et mL sont les traces des plans tangents de la surface de révolution et du cône au point (3, 3').

Le point le plus haut, le point le plus bas et ceux qui sont sur les contours apparents du cône, sont obtenus par l'ensemble du tracé de la courbe résultant de la détermination d'un grand nombre de points. Si l'on veut opérer avec beaucoup d'exactitude, on construira des courbes d'erreur.

Io6 LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent.

{Planche XL1.)

257. Nos plans de projection sont, l'un parallèle aux deux axes, l'autre perpendiculaire à Tune de ces droites : ce dernier est considéré comme horizontal.

Les axes se coupent au point (0, 0'). Les lignes G'B'R'E' et /'G'E'H' sont les méridiennes de front des deux surfaces : les axes sont (0, R'O') et (OB, O'H').

Deux surfaces engendrées parla révolution de deux courbes autour d'un même axe se coupent suivant un ou plusieurs cercles situés dans des plans perpendiculaires à cette droite. Donc si nous prenons pour surfaces auxiliaires des sphères dont le point (0,0') soit le centre, ces surfaces étant de révolution autour de chacun des arcs O'R' et O'H', leurs intersections avec les surfaces considérées formeront deux séries de cercles qui se projetteront sur le plan vertical suivant des droites respectivement perpendiculaires aux deux axes.

Un arc de cercle B'6'B" décrit du point 0' tomme centre'avec un rayon arbitraire peut être considéré comme faisant partie, sur le plan méridien de front, de la trace d'une sphère qui a son centre au point (0, 0'), et qui coupe les deux surfaces de révolution, suivant des cercles projetés sur les droites B'B" et &'/3' respectivement perpendiculaires à O'R' et O'H'. Le point M', où ces deux lignes se coupent, appartient donc à la projection verticale de l'intersection cherchée. On en déduit facilement sur le plan horizontal les points correspondants M et M, de la projection de la courbe (art. 189).

En traçant différents arcs convenablement espacés, on obtiendra autant de points qu'il sera nécessaire pour bien déterminer l'intersection. On devra chercher ceux qui appartiennent au parallèle C'C", contour apparent, sur le plan horizontal, de la surface dont Taxe est vertical.

La méthode que nous venons d'exposer est, au fond, la même que celle que nous avons employée pour déterminer l'intersection des cônes et des cylindres, mais les surfaces auxiliaires sont des sphères et non des plans. On remarquera encore que la facilité des constructions exige que l'un des plans coordonnés soit parallèle aux deux axes, et l'autre perpendiculaire à l'un d'eux.

258. La courbe dans l'espace est symétrique par rapport au plan vertical JH; elle le rencontre normalement aux points (E, E') et (G, G'). Par suite, la partie utile de sa projection verticale s'arrête brusquement aux points E' et G', et des parties parasites la prolongent (art. 220 et 218).

Si un cercle auxiliaire coupe les méridiennes en des points D' et d situés en deçà de G', la construction fera trouver un point N' extérieur à la circonférence, et situé