D’abord occupons-nousde lellipse auxiliaire 1JO
« Soient ADB la moitié dela grandeellipsehorizontale qui passe par les naissances de la voûte surbaissée; F, F, ses foyers; A Ve le quart de l’ellipse verticale dorit le plan passe par AB; f,f, ses foyers; DUE lellipse qui passe par KD, et f un de ses foyers. Pour construire le-point O’on portera Kf et KF sur lautre axe, de Kenf’ et F';on meneraf'B, et parle point F'on lui menera une parallèle FO’, qui, par son intersectionavecl’axe AB, déterminera le point O’. De même,on portera Kf sur l’autre axe, de K en f'; on menera la droite f'D ,et par lerpoint F, on luimenera une parallèle FT, qui, par sa rencontre avec Vaxe KD prolongé, détermmera le point I. »
La construction de lhyperbole auxiliaire O'KL'ne présente-aucune difficulté parceque cette hyperbole:a les mêmes axes CI, CO", que l’ellipse 130”.
850. Etant donné le-point S, construisons actuellement le pointR , ou ,:ce qui-revient au même, étant donné le point R, sur la fig. 3, construisons le:point P.
Du point R on abaissera sur AB la-perpendiculaire RT ; on menera [la :droite f'T, et la droite F'P menée par le point F”, parallèlement à f°T, déterminera sur AB:le-point cherché P.
851. Passons enfin à la construction de lellipse verticale abcd.
« Soient AB le grand axe de Pellipsoide; KD la moitié de axe moyen; KE la moitié du pétit axe; F, F, les foyers de la grande ellipse, dont on a représenté le quart par ASD ; f,f, les foyers de lellipse moyenne AOË, et f un des foyers dela petite ellipse DUe. Pour con$truire le sommet X de’lellipse auxiliaire XLG , on portera KF et Kf sur l’autre axe, de Ken F’ét f’; on menera F'B,:ét par le point f’'la parallèle-f’X, qui, par sarencontre avec axe AB prolongé. déterminera le-point X. De même, pour l'extrémité G de l’autre axe, on portera Kf sur AB, de K en f’; on menera la droite f'E, et parlé point f la parallèle fG , qui, par sa rencontre avec Paxe KE prolongé ; déterminera le point G. »
852. Ce problème des lignes de courbure de l’ellipsoide, que ‘lon tenterait sans, donte vainement de résoudre par des moyens purementgraphiques,doit montrer lasbeauté-et; la fécondité des méthodes analytiques, et la nécessité d'étudier Algèbre pour tirer de la Géométrie tout le parti possible.
853. Ces deux branches des Mathématiques, l'Analyse et la Géométrie, ont chacune des avantages particuliers et une élégance qui leur est propre. L’Anal yse conduit au but sans tâtonnement; elle donne des résultats dont la généralité s'étend. aussi loin que l'imagination; son élégance résulte de la facilité et de la rapidité de sa marche; ses avantages sont une. extrême rigueur .et des résultats qui donnent sans effort toutes les propriétés que comporte le sujet que l’on traite. La Géométrie au contraire ne présente-que des conceptions dont la généralité, comparée à célle de l'Analyse, est extrémement bornée; sa marche est incertaine .et tout-à-fait dépendante du plus ou moins de pénétration de celui qui emploie : mais elle n'a rien de
