CH. IV. DES RAY, DE COURB. ET DES LAG, DE COURBURE

donner ‘une idée de la courbure de la surface ; ces contours particuliers sont toujours au nombre de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque ; pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours , dont les artistes n’ont ericore qu’un sentiment confus, sont les projections des lignes de courbure de la surface qu’ils veulent exprimer, Comme les surfaces de la plupart des objets ne sont pas De piaies de définition rigoureuse , leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déterminées ni par le calcul, ni par des.construetions graphiques. Maïs si , dans leur jeune âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les lignes de courbure d’un grand nombre de surfaces différentes , et susceptibles dé définitions exactes , ils séraient plus sensibles à la forme de ees lignes et à leur position, même pour les objets moins déterminés; ils les saisiraient avec plus de précision, et lies ouvrages auraient plus d'expression. |

» Nous n’insisterons pas sur cet objet, qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et l’industrie retiretaient de létablissement d’une école de Géométrie descriptive , dans chacun des districts de la République (*) »

Occupons-nous maintenant des constructions relatives aux rayons de courbure des surfaces.

835. Soit d’abord A le point de contact d’un blañ tangent à une surface convexe quelconque , et supposons que ce plan coïncide avec celui de la figure; il. sera possible de trouver non-séulement le rayon de courbure de la surface en ce point ; maïs encore les directions des lignes de courbure de cette surface en ce même point.

Pour cela ; on menera par le point A une suüitelde plans d’Ae', d'Ae', d'Ae".,., normaux à la surface donnée ; on construira les intersections de ces plans et de cès surfaces; on déterminera, par le procédé du n° 778; les rayons de courbure # > PP” ete, de ces sections , et, ayant porté chaque rayon # de À en d’,et de À en e’, sur la trace d'e' du plan ir correspondant ; un décrira la courbe dd'd”.. eee"... que donneront les pointe; tsospbte" eh : etes

“Or, les rayons de courbure cherchés étant évidemment les distances MA—AN,7#7A—A n, qui, par rapport à leurs voisines, sont des maximum et des minimum, on rectifiera, pour les obtenir, la ligne d'd’d”...e'e"e"..., sur une droite D'X; par les points D’, D"; D”.. E", E",E"..., correspondans à d’, d”, d”...,é,e",e"..., on élevera des perpendiculaires D'A’ ,D'A",D”A"...,E'a,E"a",E"«"..., sur chacune desquelleson portera, à partir de D'X ,lesrayons decourbureAd'— Ae',Ad'— Ae", etc., de D’ en A’,de D” en A”,etc.: cela fait, on décrira la ligne A’A"A"... a'a"a"”; on menera ; par le procédé exposé n° 122 (**), des tangentes pq, #4, à cette ligne; on abaissera par leurs points de contact Ret r, R' et 7’, les perpendiculaires RS — RS, rs—rs", qui seront les rayons de courbure demandés.

Si la surface dounéciétait une surfice non convexe, la courbe d'd"d"... eee”... aurait la forme indiquée fig. 4, dans laquelle les branches caMdb , efngi, FANpgq, lomrs,

(*) Ce qui précède est extrait de la Géométrie descriptive de l’illustre Monge; elle fut publiée en lan IH, à la clôtnre des lecons des Écoles normiales ; et an moment de la fondation de l’École polytechnique. (**) Au moyen de ce qu’on a vu n° 766, ce procédé s’applique dans tous les cas possibles.

Fig.

Fig. 4.

Fig. 3 et

Fig. 4.

touchent à l'infini deux asymptotes PQ, RS, dont les partiesindéfinies AP , AQ, AR, AS, sont les rayons des sections normales à courbure nulle (815).

* Dans ce cas, on ne pourrait pas rectifier la courbe caMdb, efngi, khNpq, lomrs, tout entière : mais il suffirait d’en rectifier les arcs isolés «M, fng, ANp , omr; car'ils contiennent les points auxquels correspondent les rayons cherchés , puisque ces rayons sont ceux AM = AN, Am — An, des cercles tangens aux courbes auxiliaires d'd’d”.... e'e"e"..., et caMdb, efngi, kANpgq, lomrs (*).

836. Maintenant , soit que la surface donnée soit convexe ou qu’elle soit non convexe ; on pourra déduire des constructions faites pour obtenir les rayons de courbure cherchés RS=R'S", rs —7's’, les directions des lignes de courbure en A. En effet, si l’on rapporte les lignes E"S" etE’s en e”N et en, sur la courbe auxiliaire d'd'd".. de" à jet que l’on mène les droites MAN , #7An, il est clair que ces droites seront les tangentes aux lignes de courbure de la surface.

De ce qu'on sait trouver, en chaque point d’une surface, les directions de ses lignes de courbure, il s'ensuit qu’on peut se figurer , sans autre secours que celui de la règleet du compas, la manière dont ces lignes se trouveront ployées sur cette surface, et cela peut suffire souvent dans la pratique : mais s’il fallait construire ces lignes, on ne pourrait lé faire avec quelque rigueur sans l’aide de l'Analyse algébrique.

837. Ainsi, le problème de la recherche des lignes de courbure est, comme celui du développement d’ane surface (649), insoluble jusqu’ici par la Géométrie. Les praticiens doivent s’en consoler aisément; ils ont dû remarquer que les solutions de nos questions générales étaient rarement applicables , et ils en concluront que si l’on trouvait un moyen rigoureux de construire synthétiquement les lignes de courbure, ce serait sûrement par un procédé si compliqué qu’il serait inutile.

C'est l'Analyse qui s’applique avec succès aux questions générales de Géométrie. Cepétidant, nous regrettons de ne pas pouvoir trouver par des considérations synthétiques, les lignes de courbure de lellipsoïde (838); mais nous ne résistons pas au désir de les construire, comme

(*) Les belles recherches de M. Dupin (voyez ses Développemens de Géométrie) l'ont conduit à des procédés d’une application beaucoup plus simple que ceux que nous venons d’exposer. Après avoir prouvé qu’on peut mener en chaque point d’une surface quelconque une surface du second degré osculatrice en son sommet à la surface donnée , et telle conséquemment que toutes les courbures des sections normales de cette dernière soient données par la surface osculatrice, il projette celle-ci sur le plan tangent à celle-là au point d’osculation, et il fait voir que toutes les courbures de la surface donnée peuvent être déterminées par le moyen du contour de la projection de la surface osculatrice. Il appelle indicatrices les sections coniques qu forment de tels contours ;.il déduit de leurs propriétés un grand nombre de conséquences très intéressantes , et il indique des moyens d’une pratique aisée pour construire les iudicatricés.

D'après le plan de cet Ouvrage, où nous avons tâché de substituer partout l’art des constructions aux considérations analytiques les plus élémentaires, selon l’esprit de la science qui nous occupe, nous n’avons pu présenter ici les propres constructions de M. Dupin, |

Les lignes d’'d'd"... e'e"e"..., et caMdb, efngi, khNpgq, F5 que nous employons, sont aussi des espèces d’indicatrices des courbures de la surface donnée ; mais au lieu d’être les contours des projections d’une surface du second degré, ils sont ceux d’une autre édite qui est le lieu de tous les cercles osculateurs des sections normales en A, C’est en lisant l’ouvrage de M. Dupin que nous sommes arrivés aux résultat des n°s 835 et 836.

un beau résultat d'Analyse, qui donnera l’idée du réseau dont les fils suivraient les courbures d’une surface, qui montrera l'utilité d’allier l'étude del’ Algèbre à celle de la Géométrie, et qui est employé dans le liv. 2. de la Science du dessin.

Concevons dans l’espace trois plans rectangulaires entre eux, lun AB parallèle au plan vertical, autre A’B° parallèle au plan horizontal, et le troisième (DE, FG) perpendiculaire à la ligne de terre, et par conséquent aux deux premiers. Ces trois plans rectangulaires se couperont suivant les trois droites (AB, AB’), (DE, C’), (C, FG).

Soient (CB, CB), (CD, C’), (C, C'F), trois lignes données, (CB, C'B’) la plus grande

et (C, C'F) la plus petite, et portons ces lignes de part et d’autre du point (C, C’), sur les lignes respectives (AB , A'B'), (DE, C'}, (C, FG). Elles détermineront les trois lignes (AB, A’B”), (DE, C’), (C, FG), dont les grandeurs sont respectivement doubles de (CB,C'B’), (CD, C’), (C, CF), et que nous appellerons les axes principaux de lellip- ” soide (838).

- Imaginons maintenant trois ellipses, la première ABDE passant-par les quatre extrémités des axes principaux horizontaux, qui sont le grand et le moyen axe; la deuxième A'GBF passant par les quatre extrémités du grand axeet du petit axe; la troisième enfin qui passe par les quatreextrémités du moyen et du petit axe, et dont un quart est rabattu en EH. On appelle ces ellipses, qui se rencontrent deux à deux aux extrémités des axes principaux, ellipses principales.

838. Il est évident que si un plan se meut parallèlement au plan A’B de l’ellipse ADBE, il coupera toujoursles deux autres ellipses(ou au moins tant qu’il sera entreles points FetG) en quatre points, qui détermineront un e nouvelle ellipse dont ils seront les sommets. Cette dernière ellipse, variable à la fois de grandeur et de forme suivant la hautèur du plan horizontal qui la contient, est la génératrice d’une surface à laquelle on donne le nom d’ellipsoïde, parce qu’elle ne peut être coupée par un plan que suivant une ellipse.

Les six points (A, A’), (B, B'), (D, C), (CE, C), (C, F), (G, G), s'appellent les sommets de Pellipsoide. (C, C”) est son centre; ét les lignes que nous avons appelées axes principaux et ellipses principales, en sont en effet les axes principaux et les eliipses principales. 13

839. On démontre facilement par l’analyse que le même ellipsoïde serait engendré si le plan delellipse génératrice, au lieu de se mouvoir parallèlement à lellipse principale ADBE, se mouvait parallèlement à lune quelconque des deux autres ellipses principales , ce qui donne le moyen de construire deux courbes elliptiques passant par un point donné de Pellipsoide, et d'obtenir immédiatement [puisqu'on sait mener des tangentes à ces courbes (874) ] le plan tangent en ce point.

840. Sideux des axes principaux de cette surface devenaient égaux entre eux, il est clair que deux des ellipses principales seraient égales entre elles; que la troisième serait circulaire, et que la génératrice contenue dans le plan mobile parallèlement à cette dernière, ou, ce qui revient au même, mobile perpendiculairement au troisième axe, serait partout un cercle: d’où il suit que l’ellipsoïde général se changerait alors en un ellipsoïde de révolution. | |

Passons maintenant à la construction des lignes de courbure de lellipsoide général.

, 841. Les arcs IJO”, O’KL, d’une ellipse et d’une hyperbole auxiliaires, construites sur

Fig. r.

Fig. rt.

des axescommuns CO’etCL, étant décritsdela manière que nous indiquerons ci-après (849), on aura les projections horizontales de la série de lignes d’une même courbure; en abaissant des points K de Parc hyperbolique O’KL, les perpendiculaires KM, KN , aux axés DE, AB, eten construisant les ellipses MN PQ, concentriques à ADBE; et passant par les pieds M et N des perpendiculaires abaïssées. à

Les projections horizontales de la série deslignes de. Pautre courbure s’obtiendront en. abaissant des points J, de l'arc d’ellipse IJO”, les pérpéndiculaires JU, JR, aux axes, et en: construisant les hyperboles TRS, VXY, concentriques à ADBE, qui auront Gen demiaxes les lignes déterminées CR, CU. |

842. Le demi-axe CO, del elli pse et de Phyperbole auxiliaires, est toujours si petit que le demi-grand axe CB de Pellipsoïde; il s’ensuit que le sommet commun Ode ces courbés tombe toujours en dedans de lellipse principale ADBE. D’après cela, il est évident que la plus petite des ellipses, projection d’une ligne de courbure, a pour demi-grand axe le demi-grand axe commun CO”, et que son demi- petit axe est nul. Elle se confond par conséquent avecla ligne AB; d’où il résulte que l’ellipse | principale (AB, A’FB'G) est elle-même une des lignes de courbure de la surface: À mesure que le grand axe des ellipses croît, le petit axe croît aussi; et lorsque le premier de ces axes est égal au grand axe de Ÿellipsoide, l'ellipse correspondante se confond avec l’ellipse principale ADBE, qui est aussi conséquemment une ligne de courbure. IL est inutile de construire des ellipses plus grandes que cette dernière; elles tomberaient toutes en dehors de lellipsoide, et seraient on à notre objet. |

On voit donc que chacun des deux sommets O, O', de l’hyperbole et de Pellipse auxiliaires, est embrassé d’un même côté par toutes les sléscs , lesquelles se resserrent toujours à mesure que leurs sommets en approchent, et ne perdent leur petit axe que lorsqu'elles atteignent ces sommets.

Quant aux hyperboles, il est clair qu'aucune d’elles ne peut avoir, dans le sens AB, un axe plus grand que l’axe O'O, commun à l'ellipse et à lhyperhole auxiliaires. Celles pour laquelle Vaxe a cette grandeur ; a son autre axe nul, et se confond [avec AB; à mesure que cet axe diminue l’autre augmente, de manière que, lorsque celui-ci est le plus grand possible, le premier devient nul à son tour, et alors les deux branches de l’hyperbole se confondent avec la ligne DE. Ainsi, la troisième ellipse principale est encore, commelles deux autres, une des lignes de courbure de la surface. Chacun dessommetsO:, 0’, communs à Pellipse et à LEA auxiliaires , est embrassé par toutes les hyperboles, mais du côté opposé à celui où les ellipses lembrassent. Les hyperboles se resserrent à mesure qu’elles approchent de ces sommets, et elles ne perdent leur petit axe ; que lorsque leur sommet particulier atteint ces mêmes sommets : ilen est ainsi pour les ellipses.

843. Ces points, vers lesquels les ellipses et les hyperboles tournent leurs concavités sont les projections de quatre points (O, O0"), (0, 0"),{(0', 0”), (0', 0”), très remarquables ; deux d’entre eux sont placés au-dessus du plan AB’ et deux au-dessous. Ce-sont quatre ombilics, autour desquels les lignes de courbure sont ployées ; toutes les unes d’un côté, et toutes les autres du côté opposé, de telle manière qu’elles Cher GRR d’espèce quand leurs sommets atteignent ces ombilics.

844. Les lignes de courbure étant déterminées en projection horizontale ; il serait facile

d’en conclure leurs projections verticales , puisque la condition qu’elles soient sur la surface les détermine complètement, mais il sera beaucoup plus commode dé continuer d'employer les résultats analytiques.

Supposons l'arc abcd, d'une ellipse auxiliaire concentrique à A'FB'G , décrit sur les demi-axes C'd,C'a, dont nous-verrons la construction plus bas (851). Pour avoir la projection verticale d’une ligne de courbure projetée horizontalement! suivant une hyperbole ‘TRS, VXY , on mettra le point T, qui appartient à l’ellipse principale (ADBE ; AB’), en projection verticale en #; on élevera par le point £ la perpendiculaire tb à A'B'; par le point b, où elle rencontrera Moi es auxiliaire abcd , on abaïssera la perpendiculaite be sur F6, et He ert'e y'xye, dont les PP sont C’#et C'e’ contiendra la projection série rt, Y' #Y , de la ligne de courbure dont TRS, VXY, est la projection horizontale.

On aura la projection verticale d’une ligne de courbure projetée sur le plan horizontal suivant une ellipse MNPQ , en mettant le point de cette ligne qui se projette en M, et quise rabat en Z sur l’ellipse principale EZH , en projection verticale en m»,au moyen de l’'arczm , et en menant par ce point m Vélége mnin'pr'fr'm, concentrique à A'FB'G et dont les ture C'm, C'i, sont déterminés au moyen de Pellipse auxiliaire abcd et des droites mc, ci, PEROU Eee perpendiculaires à FG et A’B’. Les arcs 7’pr/, r"mn, que cette div mnin' pr'fr'm déterminera, seront les projections Es des deux lignes de courbure projetées horizontalement en MNPQ.

845. Il suit de là que les lignes des deux courbures de Pellipsoïde se projettent toutes sur le plan vertical , c’est-à-dire sur le plan AB du grand et du petit axe, suivant des ellipses dont le centre est en C : et l’ellipse principale (AB, A’FB’G), étant une ligne de courbure ; est nécessairement une de ces ellipses; d’où il résulte que les perpendiculaires Gg, By, élevées aux extrémités G et B' des axes FG, A’B", de cette ellipse principale, se rencontrent en un point g# de Pellipse auxiliaire cb

Tous les points de l'arc ag de l’ellipse auxiliaire, donnent des éllipses ere’x, dont l'axe horizontal *£ est plus petit que l'axe A’B de lellipse principale A’FB'G, et dont l’axe vertical e’e est plus grand que l'axe FG:,de la même ellipse prineipale. Ces ellipses, qui se resserrent à mesuré que laxe ee” s’alonge, et qui se confondent avec la droite FG, lorsque le grand axe est égal à celui de Pellipse auxiliaire abcd, divisent Paire de l’ellipse principale en zones dirigées dans le sens FG. Au contraire l'arc gd, de Pellipse auxiliaire, donne des ellipses qui toutes ont leurs axes dans le sens FG, plus petits, et ceux dans le sens A'B”, plus grands, que les axes correspondans : à Pellipse principale A'FB'G. Ces ellipses, quisé resserrent à mesure que Paxe dans le sens A’B' croit, et qui se confondent avec AB’ lorsque cet axe est égal à celui de lellipse auxiliaire, divise Paire de Pellipse principale A'FB'G en zones dirigées dans le sens A'B'; et chacune d’elles coupe chacune de celles de la première espèce en quatre points, qui sont compris en dedans de l’ellipse principale.

M. Monge, après avoir démontré que toutes ces ellipses sont inscrites dans un losange, dont le centre est en C’ et dont les pointsa et d'sont deux des angles, termine ainsi qu'il suit la belle théorie dont nous avons tiré ce qui précède.

846. « S’il était question de voûter un espace circonscrit en projection horizontale par

Figore

une ellipse, on ne pourrait pas donner à la voûte une surface plus convenable que celle de la moitié d’un ellipsoide dont une des ellipses principales coinciderait avec l’ellipse de la naissance; et en supposant que cette voûte dût être exécutée en pierre de taille, il faudrait que la division.en voussoirs fût opérée au moyen des lignes de courbure dont nous avons donné la construction, et que les joints fussent les surfaces développables normales à la voûte. Les lignes de division en voussoirs traceraient sur la surface des compartimens rectangulaires susceptibles de décoration, et ces compartimens eux-mêmes n'auraient rien de fantastique , puisqu'ils ne seraient qu’une suite nécessaire de la première donnée, qui est uneellipse; mais la destination de l’édifice pourrait influer sur le choix de celui des trois axes qu’il faudrait placer verticalement.

» Il n’y aurait aucune raison pour faire l'axe vertical égal à l’un des deux axes horizontaux ; ainsi les trois axes seraient inégaux. Dans cette hy pothèse, l’axe vertical pourrait être plus grand que les deux autres, et alors la voûte serait surmontée ; il pourrait être plus petit, et la voûte serait surbaissée ; enfin, il pourrait être compris entre les deux autres, et la voûte serait moyenne. La voûte surmontée aurait en général plus de hardiesse et plus de dignité ; et si la naissance était elle-même à une grandehauteur, quelle que fût d’ailleurs la destination de lédifice, ce serait la voûte surmontée qu’il faudrait employer, parce que sa grande élévation faisant paraître ses dimensions verticales plus petites qu’elles ne seraient réellement ,écraserait trop une voûte d’une autre espèce. La voûte surbaissée, en diminuant le volume de lair compris dans l'emplacement , serait plus favorable à la voix d’un orateur. Si lédifice devait être éclairé par deux lustres suspendus à la voûte, il faudrait que cette voûte fût ou surmontée ou surbaissée, parceque dans ces deux cas sa surface aurait deux ombilics, placés symétriquement au-dessus dugrand axe de l’ellipse horizontale, et que ces ombilics, rendus très apparens par les compartimens qui se distribueraient autour d’eux, seraient les points naturels de suspension : alors on Louis né disposer du rapport entre les trois axes, pour que ces points fussent espacés d’une manière convenable.

» Au contraire, si l'édifice devait avoir quatre grandes ouvertures, ou si la voûte devait être portée par quatre groupes de colonnes, ou enfin si , dans la décoration intérieure , on employait quatre supports distribués symétriquement, il faudrait choisir la voûle moyenne pour laquelle les quatre ombilics sont toujours dans la naissance , et placer les massifs ou les supports aux quatre extrémités des axes, parce que c’est aux environs de ces quatre points, et loin des ombilics, que les lignes de courbure , rendues ‘apparentes par la décoration de la voûte, et qui d’ailleurs rencontrent toutes verticalement la naissance , s’écartent plus lentement de la ligne de plus grande pente de la surface.

847. » On s'occupe aujourd’hui (*) dela construction de salles pour les deux conseils dela législature: les emplacemens dont on a pu disposer jusqu’à présent pour de semblables salles, ont forcé de donner à l’amphithéâtre moins de profondeur en face de l’orateur que sur les côtés; mais l’expérience ayant prouvé que la voix se porte à une plus grande distance en face, il paraît que c’est une disposition toute contraire qu’on devrait adopter. De toutes

(*) M. Monge écrivait ce passage en l’an III.

les formes alongées que l’on pourrait donner à lamphithéâtre, il n’y en a aucune dont la loi soit plus simple et plus gracieuse que l’ellipse : il faudrait donc que la salle fût elliptique, et qu’elle fût couverte par une voûte en ellipsoïde surbaissée.

» Le service des assemblées législatives exige un emplacement pour le bureau , en avant duquel est la tribune de l’orateur. En plaçant le bureau à un des sommets de lellipse, on pourrait lui consacrer un espace suffisant pour la commodité du service, et Porateur se trouverait naturellement placé sous un des ombilics de la voûte : lamphithéâtre n’occuperait que la partie qui serait en avant. Une galerie qui ferait letour entier de la salle, et qui serait assez élevée pour être très distincte de lamphithéâtre, fournirait des places au public. La salle , qui aurait ni tribune ni aucune espèce d’irrégularité, pourrait être décorée par des colonnes, à chacune desquelles correspondrait une nervure dela voüûte, pliée suivant la ligne de courbure ascendante. Toutes ces nervures, verticales à leur naissance, se courberaient autour de l’un ou de l’autre ombilic, pour redescendre ensuite à plomb sur les colonnes opposées, et elles seraient croisées perpendiculairement par d’autresnervures pliées suivant les lignes de l'autre courbure. Les intervalles de ces nervures pourraient être à jour, soit pour éclairer la salle, soit pour donner des issues à l’air, et formeraient un vitrage moins fantastique que les roses de nos églises gothiques. Enfin, deux lustres suspendus aux om- “bilics de la voûte, et à la suspension desquels la voûte entière semblerait concourir, serviraient à éclairer la salle pendant la nuit.

» Nous n’entrerons pas dans de plus grands détails à cet égard; il nous suffit d’avoir indiqué aux artistes un objet simple, et dont la décoration, quoique très riche, pourrait n'avoir rien d'arbitraire , puisqu'elle consisterait principalement à dévoiler à tous les yeux une ordonnance très gracieuse, qui est dans la nature même de cet objet (*). »

848. C'est d’après cette idée de M. Monge que l’épure est construite. On a divisé lellipse

des naissances ADBE en parties égales sf, fu, uS, Sy, ete., et par chaque point de Fig. 1.

division S, on a mené une ligne de courbure dont la projection verticale est r’#r, et dont la projection horizontale est SRT (on verra plus loin (850) le moyen d'obtenir lepointR, étant donné le point S, ou, ce qui revient au même, étant donné le point T). De cette maniere, on a obtenu toutes les lignes de courbure ascendantes.

Pour obtenir le second système de lignes de courbure, on a divisé l’ellipse principaleDE, en un nombre impair de parties «6, y ,yZ, etc., et par chaque point de division on a mené une ligne de courbure. La plus grande de ces parties, dont la moitié est Ha, est au sommet supérieur, elle est égale à s£’: lesautres vont en diminuant graduellement de grandeur jusqu’au point E.

(*) Le lecteur qui aura vu avec plaisir les détails dans lesquels nous venons d’entrer, et qui sera un peu familiarisé avec application de l’Algèbre à la Géométrie, lira avec le plus grand intérêt le 4e Mémoire des Développemens de Géométrie de M. Dupin.

Il verra entre autres propriétés, 1°, qu’étant donnée une surface du second degré, on peut toujours déterminer trois groupes de surfaces du même degré, dans l’un desquels se trouve la surface donnée, tels que chaque surface d'un de ces groupes coupe toutes celles des autres groupes partout à angle droit; 29, que les surfaces d’un des groupes sont des ellipsoïdes, et celles des autres groupes des hyperboloïdes à une nappe et des hyperboloïdes à deux nappes; 30. comment on peut employer ces surfaces, qu’on appelle surfaces trajec- ‘toires orthogonalcs réciproques , à la construction des lignes de courbure de la surface donnée.

Pi. 66.

Fig.

Exposons maintenant ,et toujours d’après M. Monge, les constructions.que nous avons renvoyées à la fin de ce chapitre.