Des parties vues et cachées des traces, ibid

192. DES SURFACES DE RÉVOLUTION. Définition de ces surfaces et de ce qu’on appelle axe de révolution , ibid, 193. De la construction d’une position de la génératrice, 70 194. Choix d’un système de plans de projection qui simplifie la construction d’une position de la génératrice. Application à un exemple, tbid.

N° 195 et 106. Représentation de la surface prise pour exemple; construction directe des contours, page 71

197. Le contour de la projection verticale, et la courbe de la surface qui correspond à

ce contour, se composent chacune de deux branches planes et symétriques, 72

198. Des méridiens et des méridiennes d’une surface de révolution, zbid. 199. Chaque branche d’une méridienne équivaut, sous le rapport de la génération , à la

méridienne entière, ibid.

200. Construction d’une méridienne quelconque, 73 201. Du plan méridien principal et de la méridienne principale , tbid.

202 et 203. Une surface de révolution est toujours susceptible de trois générations remarquables ; il correspond à chaque es À un système particulier de

représentation , ibid.

204. Du système de représentation qui sera employé le plus communément, 74 205. Observations sur le cas où l’on emploiera une génératrice à double courbure.

Construction de la trace verticale, ibid.

206. Notation d’une surface de révolution, 1bid. 207 et 208. Des surfaces de révolution coniques et cylindriques; on donne à ces surfaces

les noms de cônes droits et de cylindres droits , 75

209 et 210. Des surfaces de révolution du second degré, des ellipsoïdes , des hyperboloïdes et des paraboloïdes de révolution ; de la sphère, et de la représentation de cette surface, 1bid.

211—213. Exécution des planches 11 et 12, 76

CHAP. IL. Des surfaces gauches.

N° 214. Définition des surfaces gauches, page 78 219. Une surface gauche ne peut être, dans aucun cas, ni conique ni cylindrique, :bid.

216. Des SURFACES GAUCHES QUI ONT UN PLAN DIRECTEUR. Les surfacesengendrées par le mouvement d’une droite qui suit deux courbes, en restant constam-

ment parallèle à un plan, sont des surfaces gauches, zbid. 217 et 218. Etant donné un point sur l’une des deux directrices d’une surface, construire l'élément qui passe par ce point, ibid. 219. Étant donnée une droite quelconque , construire lélément parallèle à cette droite, 79 220. Des conoïdes. Du conoïde droit et de Ja ligne de striction , ibid. 221. Du paraboloide hyperbolique , 80 222. Les élémens d’un paraboloïde hyperbolique coupent les directrices en parties proportionnelles, . zbid.

223. Réciproquement, les droites qui en touchent deux autres, et qui les divisent en parties proportionnelles , sont parallèles à un même plan et appartiennent à un paraboloide hyperbolique , ibid.

364% TABTE DES MATIÈRES.

N° 224. Leparaboloïde hyperbolique est susceptible d’étre engendré de deux manières par une droite, - page 81

225, Les deux générations se déduisent l’une de l'autre ‘absolument de la méme manière , | L 82

226 et 227. DEs SURFAGES GAUCHES qui ont trois directrices linéaires. Construction de l'élément qui passe par un point connu de l’une des RCE , zbid.

228 et 229. De l’hyperboloïde à une nappe. Cette surface peut être engendrée dé deux manières par le moyen d’une droite; comment cette propriété v va être dé-

montrée , 83 230 et 231. Propriété du quadrilatère gauche; nee de cette propriété à la construction des élémens de l’hyperboloïde à une nappe, 84 232. Théorème relatif au triangle coupé par une sécante, 85 233. Théorème relatif au quadrilatère gauche coupé par’ un plan, 86

234 et 235. Démonstration de la double génération de Phyperboloïde à une nappe; cette double génération entraîne comme conséquence celle ‘du paraholoïde

hyperbolique , ibid.

236—238. De l’Ayperboloïde de révolution à une nappe ; eet CSSS est une surface gauche; de la gorge de cette surface, 88

‘239—2/0. Démonstration synthétique de la double génération de lhyperboloïde de révolution à une nappe; toutes les positions de l’une des génératrices coupent

chaque position de autre, | ibid.

241. L’hyperboloïde de révolution à une ve OR en effet à l’espèce des hyperboloïdes à une nappe, : 90

242. DES SURFACES GAUCHES EN GÉNÉRAL. De divers genres de surfaces gauches, ibid. 243 et 244. 55 l’on fait tourner un plan autour d’un élément d’une surface gauche , il sera, dans toutes ses positions , tangent à cette surface ; ; les points de contact seront sur l'élément qui servira de charnière, AUTO 245. En général, tout plan tangent à une surface gauche est aussi un plan coupant de cette surface. De la construction d’un plan tangent, et du point de contact de

ce plan, -1bid.

246. Des plans tangens à l'infini; on les nomme plans asymptotes, … ibid. 247. Les surfaces gauches sont des surfaces non convexés, | 92 248. De la représentation des surfaces gauches, | MENT | ibid.

CHAP. IV. DE surfaces enselppes.

N° 2/9 et sna Des SURFACES ENVELOPPES EN GÉNÉRAL. Définition des Surfaces enveloppes; de Penveloppée et de la caractéristique , page 92

251 et 252. Les plans tangens à l’enveloppée, sur la caractéristique ) sont aussi tangens à l'enveloppe. De l’aréte de rebroussement; des nappes d’une enveloppe, 93

N°53, Des sURFAGES DÉVELOPPABLES. Définition de ces surfaces, page 94 264 et 255. L’enveloppe dun Gi mobile est une surface développable, et réciproquement , 1bid.

256—558. De l’arête de rebroussement d’une surface développable; cette arête est touchée par tous les élémens de la surface; des'nappes d’une surface dévelop-

pable, 9ÿ 259: Des loisqui peuvent déterminer le mouvement du plan mobile, ibid. 26o et 261. D'une génération très simple des surfaces développables; autre génération au moyen du plan osculateur, ibid.

262. Les cônes et les cylindres sont des surfaces développables, | 96

263 et 264. Examen d’une surface développable dont l’arête de rebroussement est une hélice; les nappes de cette surface se réunissént par un vrairebroussement, ibid. 265. On Spfele héliçoïdes développables les surfaces du pie de celle que nous venons d'examiner, 97 266 et 267. Construction. Exécution de l'épure , ibid.

268. DE LA REPRÉSENTATION des eme lp per; des surfaces de révolution comme enveloppes ; etc., 98 269—271. Une surface de révolution quélconque est l'enveloppe du mouvement d’un cône droit variable de forme, ou d’une sphère variable de rayon, ou d’un cy-

lindre constant de forme , ibid.

272. Il y a des problèmes relatifs aux enveloppes qui se résolvent facilement par la considération de l’enveloppée, | 99

273—275. Plusieurs classés d'artistes emploient les générations de diverses enveloppes ; ces artistes ont un sentiment très délicat des générations dont ils se servent ; ils jugent, par les caractéristiques, s'ils peuvent ou non exécuter une surface; la dénomination de caractéristique est tout-à-fait convenable, ibid,

N° 276. Des diverses formes que peut présenter la question du plan tangent : division de ce livre, page 107

CHAP. I“. Des plans tangens dont le point de contact est donné.

N° 277. Nous nous donnerons ordinairement le point de contact par l’une de: ses projections, page 101 278 et 279. Une droite passant par un point d’une surface, et comprise entièrement

. dans cette surface, est dans le plan tangent en ce point; les plans tangens aux surfaces cylindriques, coniques, gauches et développables, passent par lélément qui contient le point de contact, ibid.

280. PROBLÈME 1%. On donne une surface cylindrique, on donne la projection hori-

zontale d'un point de cette surface , et l’on demande le plan tangent qui corres=

pond à ce point. Construction du point de contact, page 102

N°81 et 282. Tout plan tangent à une surface cylindrique la touche tout le long de l’élément qui passe par le point de contact; application de cette pro-

priété à la résolution du problème proposé, ibid.

283. Les traces du plier tangent demandé sont tangentes aux traces du cylindre, 103 284 et 285. Du cas où la ROSE du cylindre serait dans le plan horizontal. Exé-

cution de l’épure, ibid.

286. PROBLÈME 2. Mener par un point donné d’une surface conique un plan tangent à celte surface , ; 104 287 et 288. Tout plan tangent à un cône le touche tout le long d’un de ses élémens; application de cette propriété à la résolution du problème proposé, ibid. 289. Comment on déterminerait le point de contact, s'il était donné par une seule de ses projections, 105 200 et 291. La trace du plan tangent sur un plan quelconque est tangente à latrace du cône sur le même plan. Exécution de l’épure, ibid.

292. PROBLÈME 35. Mener un plan tangent à une surface de révolution, dont la méridienne soit connue , par un point de cette surface donné en projection hori-

zontale. Construction du point decontact , 106 2093. Construction du plan tangent, 107 294 et 205. Le plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaireau plan méridien correspondant, Exécution de Pépure , 108

206. PROBLÈME 4. Connaissant l'axe et une génératrice quelconque d’une surface de révolution ; mener un plan tangent à cette surface par un point donné en pro-

jection horizontale. Construction du point de contact, ibid. 297—2909. Construction du plan tangent; construction de la tangente à la méridienne. Exécution de l’épure, 109 300. ProsLème 5. Mener un plan tangent à une surface annulaire par un point pris sur celte surface , 110 301. Le plan demandé coupe la surface donnée, ibid. 302. Exécution de l’épure , ibid.

303. Construction de Pintersection du plan tangent et de la surface donnée , IIT 304 et 305. Des parties vues et cachées de la projection horizontale; des parties vues et cachées de la projection verticale, ibid.

306. Proscème 6. Mener, par un point d’un hyperboloïde de révolution à une nappe , un plan tangent à cette surface , 112 307. Lorsque le point de contact varie sur l’élément indéfini auquel il appartient, le plan tangent varie aussi, | ibid.

308. Digréssion sur les plans tangens aux surfaces gauches, LTeJn Crbid. 309. Le plan tangent en ‘un point de la surface donnée passe par lélément de la seconde génération correspondant à à ce point , 113

310. Si un plan se meut autour d’un élément d’un hyperboloïde de révolution à une nappe, il sera constamment tangent à cette surface, ibid.

N° 311. L’hyperboloïde dont il s’agit est une surface non convexe dans toutes ses parties , page 113 312—314. Exécution de l’épure ; détermination des parties vues et cachées de la projection horizontale; détermination des parties vues et cachées de la projection

verticale, ibid.

315 et 316. Pro8LèmEe 7. Mener par un point pris sur un paraboloïde hyperbolique un plan tangent à cette surface , 114

317. Prosrème 8. On donne les deux droites directrices d’un paraboloïde hyperbolique ,

le plan directeur de cette surface , un de ses élémens et un point de cet elément,

et l’on demande le plan tangent en ce point , 116 318 et 319. Recherche du second élément passant par le point de contact; construction du plan tangent, ibid.

320. Exécution de l’épure ; représentation du paraboloïde hyperbolique donné, 117 321—324. Du choix des données de l’épure , fait d’après un mode remarquable de la génération du paraboloïide byperbolique; application de ce mode à la construction des élémens de la première génération ; application à la construction des élémens de la seconde génération ; avantages des données choisies, 2b1d. 325. Des parties vues et cachées de Pépure, 119 326—329. ProëcÈME 9. On donne les trois droites directrices d’un hyperboloïde à une nappe , et l’on demande , 1°. lélément qui passe par un point de l’une des directrices; 2°. le plan tangent à l’hyperboloïde en un point de l’élément construit , 120 330. ProscèME 10. Une surface gauche dont la génératrice est constamment parallèle à un méme plan étant donnée , avec la projection horizontale d’un de ses points , on demande le plan tangent à cette surface en ce point. Construc-

tion du point de contact, 121 331. Construction de l’élément qui passe par le point #b contact, 122 332 et 333. De la construction du plan tangent au moyen d’un paraboloïde hyperbolique auxiliaire , ibid.

334 et 335. Explication d’un cas singulier. Exécution de l’épure, 123

336 et 337. Proscème 11. Les trois directrices d’une surface gauche étant données , avec la projection horizontale d’un point de cette surface , on demande le plan tangent en ce point à la surface donnée. Construction du point de contact et de l’élément correspondant; autre procédé pour obtenir le point de contac

et l’élément correspondant, . ibid.

338 et 339. De la construction du plan tangent au moyen d’un hyperboloïde auxi- liaire; d’un cas singulier, 124

340 et 341. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant donnés une surface quelconque et un de ses points , trouver le plan tangent à cette surface en ce point. Solution générale; simplification qu'elle peut souvent subir , ibid.

342 et 343. Des moyens généraux de solution qui s'appliquent aux cylindres, aux cônes et aux surfaces de révolution ; au défaut de ces moyens , d’autres s'appliquent aux surfaces gauches et aux enveloppes, 125

CHAP. Il. Des plans tangens menés par un point donné au dehors d'une surface.

N°344—346. Progrème. 1°. Par unpoint donné au dehors d’une surface cylindrique connue, mener un plan tangent à cette surface , page 126

347 et 348. AE 2. Par un point donné au dehors d’un cône , mener un plan tangent à ce cône, . 127

349 et 350. PROBLÈME 3. Par un point donné au dehors d’une surface sphérique , mener un plan tangent à cette surface. De la détermination de la courbe de contact de la sphère donnée et du cône circonscrit ayant pour sommet le

point donné , 128

35r et 352. PRosrème 4. Par un point donné hors d’une surface de révolution , mener un plan tangent à cette surface. De la courbe de contact de la surface donnée avec un cône circonscrit qui aurait pour sommet le point donné, 129

353. Progcème 5. Étant donnés une surface de révolution et un point ; on demande la courbe de contact de cette surface et du cône circonscrit qui aurait

pour sommet le point donné. Des divers procédés qui servent à déterminer les

points de la courbe demandée , ‘ibid.

354—356. 1° Procédé , dans lequel l’enveloppée est une surface conique ; 2° procédé , dans lequel l’enveloppée est une surface sphérique ; 3° procédé , dans lequel l’enveloppée est une surface cylindrique , | 130 357—359. Construction des points singuliers de lu courbe demandée. De ceux de ces points qui s’obtiennent, immédiatement , en menant des tangentes aux con-

tours de la surface ; de ceux qui sont in le méridien passant par le point donné ; les RruAe de ces derniers points sont des rnaximum ou des mini-

mum y 132

360 et 361. Des tangentes de la courbe demandée aux points situés dans le méridien du point donné; des tangentes à cette même courbe suivant les autres points

singuliers , 133 362 et 363. Les points singuliers dont il vient d’être question peuvent être divisés en trois espèces. Exécution de l'épure , 134

364 et 365. Proszème 6. Par un point donné au dehors d’une | surface gauche , mener un plan tangent à cette surface. Tout plan mené par un élément de la surface donnée est tangent à cette surface ; de la courbe de contact de la sphère donnée et du cône circonscrit ayant pour sommet le point donné, 135

366—368. PROBLÈME GÉNÉRAL. Par un point donné au dehors d’une surface connue , mener un plan tangent à cette surface. De la courbe de contact de la surface donnée et du cône circonscrit ayant pour sommet le point donné; lorsque la surface donnée est une surface développable , le problème proposé n’a qu’un nombre fini de solutions, ‘ibid.

CHAP. IL. Des plans tangens menés parallèlement à une droite donnée.

N°°369 et 370. ProsLème 1°". Mener un plan tangent à une surface cylindrique paral-

lèlement à une droite donnée , page 136 371 et 372. Proscème 2. Mener un plan tangent à une surface conique parallèlement à une droite donnée, . 1bid,

373. PROBLÈME 5. Étant donnée une surface de révolution et une droite, on demande un plan parallèle à cette droite et tangent à la surface donnée. Du lieu des points de contact de tous Îes plans qui satisfont au problème proposé, 137 374. PROBLÈME 4. On dunne une surface de révolution, on donne une droite, et l'on demande la courbe de contaët d’une surface cylindrique, circonscrite à la surface de révolution , et dont les élémens soient parallèles à la droite donnée. Ce problème peut être résolu par plusieurs procédés, 138 375—377. 1* Procédé , dans lequel Pens'éloppée est une surface conique ; 2° procédé , dans lequel l’enveloppée est une surface sphérique; 5° procédé, dans lequel lenveloppée est une surface cylindri ique ; ibid. 378—380. Construction des points singuliers de la se demandée. De ceux de ces points qui s’obtiennent , immédiatement, en menant des tangentes aux contours de la surface; de ceux qui sont dans le méridien passant par la droite donnée; les hauteurs de ces derniers points sont des maximum ou des minimum, 140

381. Des tangentes de la courbe demandée suivant les points singuliers, 1/1 382 et 383. Exécution de l’épure; les points singuliers séparent toujours les arcs vus d'avec les arcs cachés de la courbe demandée, 142 384. PROBLÈME 5. Étant données une surface gauche et une droite, mener un plan tangent à cette surface parallèlement à la droite donnée , zbid, 385. PROBLÈME GÉNÉRAL. Mener parallèlement à une droite donnée un plan tangent à une surface connue quelconque. Solution générale, 1bid. 386. De la courbe de contact de la surface donnée et du cylindre circonscrit dont les élémens sont parallèles à la droite donnée, 143 387. Des contours de la projection d’une surface, Viau 1bid. 388. Lorsque la surface donnée est une surface développable, le pr oblème n’a qu’un nombre fini de solutions, 1bid.

CHAP. IV. Des plans user menés par une droite donnée.

N°:389'et 390. On ne peut pas mener par une droite donnée un plan tangent à une surface

développable; exemples, | page 143 *891—394. ProBLÈME 1. Par une droite donnée , mener un plan tangent dune surface sphérique , 144

395. ProBLÈME 2. Par une droite donnée , mener un plan tangent à une surface de révolution , 147

N°%3096—309. 1° Solution, dans laquelle on emploie des cônes auxiliaires ; choix des cônes auxiliaires. Indication des constructions; de la détermination des points où se coupent les courbes de contact, page 147

4oo—/402. Observation sur la surface prise pour exemple, etsur deux cônes auxiliaires particuliers au moyen desquels on simplifie beaucoup les constructions, lorsque la surface donnée est du second degré. Exécution de l’épure , __ 148 403—/406. 2° Solution , dans laquelle on emploie un hyperboloïde de révolution à une nappe. Exposé de cette solution ; construction; cette solution est moins rigoureuse que la première. Exécution de l’épure , | 149 4o7. ProëcÈMe GÉNÉRAL. Étant données une droite quelconque et une surface quelconque, 0n demande le plan tangent à la surface donnée, passant par la droite

donnée, 152

408. Premier procédé, dans lequel on emploie des cônes auxiliaires, ibid. 409. Deuxième procédé, dans lequel on emploie une projection auxiliaire, zbid, 410 et 411. Du cas où la surface donnée serait une surface développable; cas singulier ibid.

que présente le cône, CHAP. V. Des plans tangens à plusieurs surfaces:

N° 412. Un plan ne pouvant pas être assujetti à toucher plus de trois surfaces, nous n’avons

à nous occuper que des plans tangens à deux età trois surfaces, page 193 413. PropcÈme 1°". Etant données deux surfaces quelconques, on demande un plan qui les touche à la fois toutes les deux, - zbid.

414—416. Ce problème a une infinité desolutions, qui sont les positions de l’enveloppée d’une surface développable circonscrite aux deux surfaces données; de la construction des élémens de la surface développabie circonscrite, et des courbes de contact de cette surface et des surfaces données; du cas où les surfaces données seraient développables , | ibid.

417. ProBcème 2. Deux surfaces quelconques non développables étant connues, on demande de leur mener un plan tangent par un point pris arbitrairement dans l’espace. Solution générale, RO 1

418—420. Du cas où les surfaces données seraient deux sphères : alors le problème a quatre solutions ; construction de deux solutions qui correspondent au cône

circonscrit extérieurement aux deux sphères. Exécution de l’épure , 155 421. PROBLÈME 3, On demande un plan tangent à la fois à trois sphères données. Ce problème a huit solutions, | 157

422—424. Pro8cème 4. Etant données trois surfaces quelconques , on demande un plan qui les touche toutes les trois. Solution générale. Du cas où les surfaces données seraient sphériques; des cas où il entrerait des surfaces développables parmi les surfaces données, 158

N°: 425 et 426. Exposé de ce livre; du rabattement de l'intersection d’une courbe et d’un plan. De la transformée de intersection d’une surface développable et d’une autre surface, 13 page 160

CHAP. I. Des intersections de plans et de surfaces courbes.

N° 427. Progrème 1%. On donne un cylindre et un plan, et l’on demande, 1°. leur intersection commune; 2°. le rabattement de cette intersection ; 3°. la transformée de la méme intersection sur le développement du cylindre, Choix des plans de projection , __ page 160

428. D’après ce choix, lintersection demandée se trouve immédiatement représentée, 161 429—431. Construction du rabattement, du développement du cylindre,etdelatransformée, ibid.

432. Lorsquela base du cylindre donné estune courbe fermée, la transformée se trouve composée de parties pareilles, qui s'étendent à l'infini, 162 433. Comment on peut tracer la courbe demandée sur un cylindre solide, au moyen de sa transformée, 163 434 et 435. De la marche à suivre avecunautre choix de plans de projection. Exécution de l’épure , 1bid.

436. Prosrème 2. Trouver, 1°. l'intersection d’un cône droit et d’un plan; 2°. le rabattement de cette intersection ; 3. la transformée de la même intersection sur le

développement de la surface du cône. Représentation des données, 164 437 et 438. Construction de l'intersection demandée. Elle est composée de branches qui s'étendent à l'infini ; construction du rabattement, 1bid. 439. Remarques au moyen desquelles on peut simplifier les opérations, 165 44o—/41. Construction du développement du cône; construction de la transformée, 166 442. Observations sur diverses particularités de lépure, 167 443 et 444. Autre procédé qui conduit à l’intersection demandée; comment ce procédé conduit à la transformée, ibid.

445 et 446. Observation relative au cas où le cône donné, au lieu d’être droit , serait quelconque. Exécution de l’épure , 168

447. Prosrème 3. Une surface de révolution quelconque étant donnée , on demande son intersection avec un plan donné. L'exemple choisi est celui d’un hyperboloïde, 169 448—450. Construction des points de l'intersection demandée; construction de deux points singuliers de l’intersection obtenue; construction du rabattement de lin-

tersection, 2bid.

451et 452. Moyen de solution qui présente l’avantage de dessiner la surface particulière prise pour exemple. Exécution de l’épure , 171

N° 453. ProBLèmE GÉNÉRAL. Trouver l'intersection d’un Pa et d’une surface quel-

conque ; Fage te CHAP, IL. Des intersections de surfaces courbes.

N° 454. Pos 1°". Trouver l’intersection commune de deux cylindres , page 173 455 et 456. Exposition du procédé qui va conduire à la solution; construction de Pintersection demande, zbid.

457 et 458. De divers plans auxiliaires qui donnent, avec des points de la courbe cherchée , les tangentes, ou une projection des tangentes, correspondantes à ces points ; exemple d’un de ces plans, dont la trace touche Pune des bases d’un

des deux cylindres. Ce plan donne des points de la courbe cherchée et les tan-

gentes correspondantes, 174

459 et 460. Exemple d’un plan auxiliaire qui donne, avec dés points de la courbe

cherchée, la projection horizontale des tangentes correspondantes; exemple

d’un plan auxiliaire qui donne des points de la courbe cherchée et la projection horizontale des tangentes ÉOREDIROENES, 175

461. IL y a entre les cylindres de Pépure ce qu’on appelle arrachement. Si lun des cylindres perçait l’autre de part en part, il y aurait ce qu’on appelle péné-

ération , 176 462. Définitions générales d’une branche d’arrachement ét d’une branche de pénétration , . 2bid.

463 et 464. Comment s'opère la réunion de la courbe d’entrée et de la courbe de sortie des deux cylindres donnés, lorsqu'on paste du cas de la pénétration à célui de l’arrachement; comment on juge qu’il ÿ a pénétration, ou arrachement, entre les deux cylindres donnés, sans construire leur intersection, ibid.

465 et 466. Exéeution de l’épure. Règles pour déterminer les points vus et caehés de l'intersection demandée; détermination des parties dés élémens de chaque cylindre, qui sont exbiiss pour Vautre cylindre, ; Are Shi

467 et 468. Pnoscèmeé 2. Trouver l'intersection d’un cône et d’un cylindre. Construction au moyen de plans auxiliaires menés par la droite qui contient le sommet du cône, et qui est parallèle aux élémens du cylindre, ‘© 179

469. De divers plans auxiliaires qui donnent , avec les points de la courbe cherchée, les tangentes correspondantes à ces points, ou au moins une des projections de ces tangentes, : ibid,

470—/472. L'exemple de l’épure présente une pénétration; comment on reconnaît, ‘sans construire l'intersection, que les deux surfaces données se pénètrent ou s’arrachent; un cône et un cylindre peuvent présenter unarr rachement ) quoique

leur intersection soit composée de deux branches, 180 473. Moyen qu’il convient d'employer pour bien classer les points de chaque branche de l'intersection demandée, 181

474—4176. Exécution de l'épure. Observations sur les constructions, indiquées ; mise

au trait des Tignes de lépure; de la détermination des parties des élémens vus,

d’une des Surfaces données , qui sont cachées par l’autre, page 181 N°47 et 478. Pronième 3. Deux surfaces coniques étant données , on demande leur intersection commune. Construction des points de Pintersection demandée; les

points obtenus appartiennent à plusieurs branches. Manière de reconnaître les

points d’une même-branche, 182

| 479 —481. L’intersection cherchée a trois branches, une de pénétration et deux d’ârrachement; les branches d’irrathement s'étendent à l'infini. Construction

des élémens sieN tie des deux surfaces données; moyen de se faire une idée

claire des diverses parties de l'intersection , 163

482 et 483. Plans auxiliaires qu’il convient d'employer, parce qu’ils donnent, avec des points de l'intersection demandée, des tangentes aux projections de cette intersection ; d’une singularité que Détente les points donnés par le plan auxiliaire parallèle au plan vertical de projection, dans le cas particulier de l’épure, | 164

484 et 485. Sur les plans auxiliaires qui, dans le cas où ils différeraient les uns des autres, donneraient, avec des points de l’intersection, une projection des tan-

gentes correspondantes, 185

486 et 487. Des branches de la courbe d'arrachement des nappes inférieures. Exécution de l’épure, ibid.

488490. Progcème 4, Deux surfaces de révolution, dont les axes ont un point com mun , étant données , on demande leur intersection commune , 186

4o1— ot. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant données deux surfaces quelconques, on demande leur intersection commune.Procédé général; classement des points ob-

tenus ; des branches qui se réunissent; choix des surfaces auxiliaires, 187

CHAP. II. Des tangentes aux intersections de surfaces.

N° 495. Premier procédé pour construire ces tangentes __ page 188 496. Deuxième ptuoédé fourni par la considération da plan normal, ibid. 497. De la tangente à la transformée de l'intersection ë une surfacc quelconque et

d’une surface développable, ibid.

498 et {gg. Cas où ces moyens de mener des tangentes ne s'appliquent pas; on n’a pas de procédé direct pour mener les tangentes aux courbes de contact, 189

500 et 5or. Des asymptotes; de leur construction, 190 502 et 503. Proëcème 1°". Par un point d’intersection d’un cylindre et d’un plan , mener une tangente à cette intersection , 1bid.

504. PROBLÈME 2. Étantdonnée, sur le développement d’uncylindre, la transformée de son intersection avec un plan connu , mener une tangente à cette transformée ; 1bid.

505—511. ProscèmMe 3. Étant donnée l'intersection des deux nappes d’un cône avec un

plan , on demande les asymptotes de cette intersection , 191 512 et 513, Proscèmr 4. On demande, sur le développement du cône dont il s’agit dans le problème précédent , les asymptotes de la transformée , j; 19

N°514. Prosrème5. Étant donnée l'intersection d’un plan et d’une surface de révolution,

é mener, par un point de cette intersection, une droite qui luisoittangente, page 194 515. Procèmr6. Étant donnés deux cylindres etun point de leur intersection , ondemande la tangente en ce point à cette intersection ; ibid.

516. ProzÈme 7. Étant donnée l’intersection de deux cônes , on demande les asymp-

totes des diverses branches de cette intersection, ; 195

517 et 518. Pnorcèmr 8. Étant donné un point de l’intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se coupent ,on demande la tangente en ce pointà cettein-

tersection. Première solution, par le procédé du n° 478; deuxième solution , par

le procédé du plan normal, | zbid.

519—521. Des tangentes à des points singuliers de la projection verticale de lintersection, 196

522 et 523. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant donnée l’intersection de deux surfaces , et supposé que cette intersection ait une branche indéfinie qui ait unie asymptote, trouver , 1°. cette asymptote ; 2°. si l’une des deux surfaces est développable, trouver sur son développement l'asy mptote de la transformée de la braneñe indéfinie;198

CHAP. IV. Des sections coniques.

N° 524 Définition des sections coniques, page 198 525 et526. Des sections du cône avec un plan en mouvement autour d’une droite qui perce le cône, 1bid.