AB, A'B

BG — P po: : (0)

laquelle nous apprend que le point B”, où l'élément correspondant au point B s'appuie sur # AO A°C”, est placé sur cette droite de telle sorte que

Un» E4

A"B le AR de 5 à divisé par 5er est le même nombre p qui est le quo= tient de 22, Sais par #.

Donc mm" étant l'élément qui correspond au point 77, on aura Am ÉE A'm" mC — Ÿ m0 De même si ab «est une droite qui touche AA”, BB’et CC”, elle sera dans lemême cas que BB” touchant AC, A’C', A’C”, ce qui donnera A2 0 }:Cb PT nat 4 dC’° | Tirons les valeurs de p de ces deux dernières égalités; nous trouverons __Amxm'C", été Aa X bC' P— 7 X mC? PEUT Cb X aA°° D'où résulte Am X< m'C' Aa x UC" A'mt x mG Cb X aA'?

ou

Am X Co x Cm X A'a= Aa x Am" x C’b X Cr.

Et comme cette égalité ne peut avoir lieu (233) qu'autant que le quadrilatère formé par les quatre points a, m, bd, m”, est un quadrilatère plan, il s'ensuit que les deux droites ab, iR se coupent: ce qu'il fallait démontrer (220). s

235. Nous ferons dHtrer que le nombre p étant quelconque, les deux droites AA”, CC”, qui :s’appuient sur Îles trois directrices AC, A'C', AC”, sont coupées par A'C' d’une manière arbitraire, en sorte que débattu (d) n’assujettit les droites données à aucune condition spéciale.

Sip, au lieu d’être TR était égal à l'unité, on aurait

Am A"m" RC PES

PISo.

Fig. 8.

d'où l’on voit que la surface en question serait un paraboloïde hyperbolique (223). La double génération de cette surface résulte donc, comme cas particulier, de celle de l’hyperboloïde à une nappe.

Il est intéressant de vérifier la belle propriété que nous venons de démontrer sur une variété d'hyperboloïde qui sera souvent employée dans la suite.

236. Concevons ie l'espace deux droites quelconques, et imaginons que l’une serve d’axe, et l'autre de génératrice , à une surface de révolution. Cette surface, ainsi qu’on le démontrera bientôt (241), sera de l'espèce des hyperboloïdes à une nappe, et appartiendra à la variété de ces surfaces que l'on appelle kyperboloïdes de révolution à une nappe (452 note).

257. Prenons pour plan horizontal deprojection un plan perpendiculaire à celle des droites données qui doit servir d’axe ; et pour plan vertical un plan parallèle à l’autre droite (c’est-à-dire parallèle à la génératrice ), et perpendiculaire au plan horizontal, D'après cela, soit (A, A’B) l'axe de révolution, et (CD, C'D') la droite génératrice, Chaque point de (CD, CD’) décrira un cercle horizontal dont le centre sera sur (A, A'B'); l'ensemble de ces cercles formera la surface en question, et deux positions consécutives de la génératrice auront leurs points correspondans séparés par des. arcs circulaires horizontaux ; donc ces positions n'auront aucun point commun entre elles; donc elles ne seront pas dans un même plan, car il est clair qu’elles ne seront pas parallèles : donc enfin, la surface engendrée sera tout-à-la-fois gauche et de révolution. |

238. Parmi les cercles de cette surface, il y en a un remarquable; c’est celui qu'engendre l'extr émité (L,L'), de la ligne de plus courte distance (AL, L'), comprise entre l'axe et la génératrice. Ce cercle est évidemment, de tous ceux de la surface, celui dont le rayon est le plus petit; sa projection horizontale est la circonférence igoL, ‘et sa projection verticale la droite 10, parallèle à la ligne de terre. Il est évident qu’il occupe la partie la plus étroite de la surface , eton le nomme, par cetié raison , le carûle de la gorge. |

239. Décrivons le cer a (CED, CD”), purée par la trace horse (C, C') de la génératrice, et menons par le point D, D"), où ce cercle est rencontré par la projection DC de cette même génératrice, la droite (DC, D”C”), qui a même projection horizontale que (CD, CD"), et qui fait avec le plan horizontal le même angle que cette dernière droite. Il est évident que l’axe (A, A'B") sera situé de la même manière par rapport à

(CD, CD") et par rapport à (DC, D’C”); donc, si l'on mène un plan quelconque perpendiculaire à l'axe de révolution, il coupera les droites(CD, CD"), (DC, D’C”) et (A, A’B’), suivant trois points, tels que les deux premiers soient également distans du troisième, et tels, par conséquent, qu'ils appartiennent à un même cercle, décrit de ce dernier point comme centre. Donc, si l’on fait tourner la droite (DC, D’C”) autour de l’axe de révolution, chacun des points de cette droite engendrera un cercle, déjà engendré par un point de Ha droite (CD, C'D'); donc la droite (DC, D'C), engendrera dans son mouvement la surface de révolution dont nous nous occupons.

Cette surface est donc susceptible d’être engendrée de deux manières par le moyen d’une droite. Et comme on peut supposer que les deux génératrices (CD, CD”), (DC, D’C”), soient en mouvement en même temps, et de telle sorte que le plan projetant CD tourne autour du cylindre vertical ioL, auquel il est tangent, en les emportant toutes deux avec lui, il est aisé de voir qu'aucune position de la première ne se confond avec aucune position de la seconde.

240. Mais toutes les positions de la premiere rencontreront chaque position de la seconde, et réciproquement. En effet, prenons pour exemple l'élément (DC, D°C”) de la seconde génération , et faisons mouvoir la pre mière génératrice (CD , C'D') autour de (A, A'B); je dis que chaque position de la droite mobile coupera la droite (DC, D"C”). Pour le prouver, supposons en premier lieu que le point (C, C”) soit venu sur le cercle CED,

en un point quelconque (E, e), tel que les lignes CD, EG, tangentes à |,

circonférence igoL, se croisent sur le côté droit de AA’; la droite (CD, C'D') aura la position (EG, eg). Or, les deux lignes (LC, L'C”), (oG, 0’g), se trouveront sur la partie de la surface située au-dessus de la gorge (ogiL,, o'i'); donc elles se rencontreront en un point (7, #!); donc l'élément (DC, DC’), sera rencontré par lélément (EG, eg). Supposons en second lieu que le point (C, C’) soit arrivé en un point (1, D”) de CED , tel que la génératrice (CD, CD”) ait la position (IK , DC”), parallèle au plan vertical : les élémens (DC, D’C”), (IK, D’C”), de deux générations différentes, seront parallèles entre eux; donc ils se couperont à l'infini. Enfin, supposons que le point (C, C/) vienne occuper un point quelconque (', e’) de l'arc IDGC ; la genératrice (CD, CD') aura la position (E/G, e'g'); les parties (DL, D'E"), (E', eŸ), des deux élémens (DC, D'C”), Œ/G’, eg’), seront sur la portion de AP. inférieure au cercle de la gorge ; donc ces deux élémens se cou

Fig. 8.

Fig.

peront en un point (m,, m'). Donc toutes les positions de la première géné-

-ratrice (CD, CD"), coupent l'élément. (DC, D’C”) de la seconde génération ;

mais. cet élément; n’a rien de particulier sur la surface : donc, etc.

Nous ferons remarquer en passant que le point de rencontre (L, L”), de la droite (DC, DC") et de la génératrice (CD:, CD’), s'éloigne de plus en plus de sa position primitive, en. s'élevant sur (LG, EC"), à mesure que le point (C, C') s’avance vers le: point LE, par les points K et E. Lorsque (€, €’) est en I, le point de rencontre est à l'infini sur (LE, LC"), et à mesure que ce même point (C, C”} s'approche par D: et G: de sa position primitive C, le point de rencontre en question , mobile alors sur (LB:, E'D!'), se rapproche peu à peu de (L.. L’), et vient. enfin coincider avec: ce point, au moment où la génératrice termine:sx révolution entière:

241. De ce que chaque position d’une génératrice coupe toutes les positions de l'autre, 1l s'ensuit que si l'on prend trois élémens d’une génératon, et qu'on demande l'élément de lautre: génération mené par un pomt donné d’un de ces. trois élémens, la droite qui touchera ces: trois mêmes élémens, et qui passera par le point donné, sera l'élément demandé. Done, si l'an fait mouvoir une droite sur ces trois élémens, elle occupera successivement toutes les positions de. la seconde génératrice; donc enfin, la surface dont nous. nous occupons est de l'espèce des hyperboloïdes à une nappe (228).

Et ,, comme on peut prendre les trois élémens directeurs, à volonté sur l’une ou sur Fautre génération de cette surface, nous en conclurons (ce qu’on savait déjà) qu’elle peut être produite de deux manières par une droite en mouvement sur trois droites.

La suite nous familiarisera encore avec les surfaces que: nous: venons d'examiner ; l'essentiel pour le présent, c'est qu’on ait une idée: claire de leurs générations.

242. Des SURFACES GAUCHES EN GÉNÉRAL. Il estaisé de voir, d’après ce qui. précède , que si l’on faisait mouvoir une droite sur deux courbes, de façon que sa partie compriseentre: elles fût d’une longueur invariable , ou que son: angle avec un plan connu füt constant, ou qu’elle rencontrât lune de:ces: deux directrices sous un angle donné:, etc: ,.ou qu'on le fit mouvoir sur trois-surfaces , ousur une courbeet deux surfaces ; ou: sur: une surface et : deux courbes; ,owsur deux surfaces en faisant un angle connuarec un plan donné, ete. ,Jetc: : chaque mode. de mouvement de cette droite , donnerait , sauf des exceptions particulières, un nouveau genre de surfaces gauches.. + pis

Nous n’entrerons pas dans les détails où nous conduirait l’examen de ces divérs genres ; la plupart offrent peu d'intérèt,etifsera d’ailleurs question dans le Complément (694—1745),

CHAP. III. DES SURFACES GAUCHES. gi

deceux qui présentent quelque utilité : maïs avant d’aller plus loin, nousallons démontrer une propriété qui sera fréquemment employée par la suite.

243. Voici cette propriété: 95 l’on fait tourner un plan autour d’un élémentK d’une surface gauche. il sera, en général, tangent à cette surface, dans chacuneides positions qu'iloccupera, suivant un point de Félément K.

Considérons une position P.du plan dont il. s’agit. Soit K”, K”, K”... une suite d’élémens de la surface. gauche, situés au-delà de l'élément K; soit 'K., ”K, "K, etc. , unesuite d’élémens de la même surface. situés en-decà deK , et supposons quetous ces élémens soient consécutifs et placés sur la surface dans l'ordre... "K, "K,'K,K,K’, K",K"..., indiqué par les accens.

A moins de circonstances particulières, le plan P ne sera parallèle à aucun de ces élémens; ainsi, il.les coupera tous, sauf l'élément K qu'il contient, suivant une suite de points... "6,"k,"k,K, 8", 8". , infiniment rapprochés les uns des autres, et formant une courbe... "EEE"... Maisles points ’ket.l’seront de deux côt és opposés de l’élément K ; donc la partie infiniment petite "££’ de la courbe... "£"&'&&' "KE"... coupera l’élément K en un point.

Nommons £ ce point; je dis qu’il sera le point de contact du plan P et de Ja surface gauche: en effet , la courbe... "#"4&#&k&"&"E"... est dans le plan P ; donc ce plan contient la tangente à cette courbe en £: mais il contient aussi élément K , qui est lui-même sa tangente; doncil.contientles tangentes en &à deux lignes qui se croisent par ce point sur la surface donnée (148) : donc, etc.

Il en sera ainsi pour les autres positions du plan mené par l'élément K ; ainsi, en général, ce plan dans toutes ses positions touchera la surface donnée.

2/4. Et comme la .courbe.….. "£"&'E&E "LE"... variera selon la position du plan P , il est clair que lorsque ce plan tournera autour de l'élément K le point de contact # se mouvra le long de cet élément.

245. De la propriété qui vient d’être démontrée, et de la démonstration que nous en avons donnée (243), nous conclurons en général , premièrement, que tout plan tangent à une surface gauche est aussi un plan coupant de cette surface; secondement, que si Von veut avoir un plan tangent à une surface gauche, il ne s’agira que de mener ce plan par un élément de la surface; troisièmement enfin , que si Pon construit lintersection du plan et de la même surface , le point où cette intersection coupera élément sera le point de contact.

Il y a toutefois des cas particuliers où le plan targent touche la surface tout le long de Vélément qu'il contient (334 et 339); la propriété générale dont il s’agit est alors en défaut. ; :- 246. II peut arriver aussique le plan coupant !soit tangent à l'infini ; dans ce cas, on ne peut.pas direque la courbe ..."£&"Æ’&EEL"E" ... n’existe,pas,, mais. seulement qu’elle est située à une distance infinie , et la propriété générale est véritablement satisfaite.

‘Supposons,.par exemple , que la surface donnée soit un paraboloïde hyperbolique (221), et concevons que le plan P tourne autour de l'élément K, à partir d’une position initiale quelconque. La éourbe . . ."&'EÆELK EE"... ne sera autre chose que le ‘sécond élément du paraboloïde set à mesure quele’plan P s'approchera d’être parallèle au plandirécteur,

g2 LIVRE II. SURFACES COURBES.

le second élément s'éloignera le long de lélément K ; le point de contact s’éloignera pareillement , et ce second élément sera de moins en moins incliné avec le plan P. Lorsqu'enfin ce plan sera parallèle au plan directeur, le second élément sera à l’infimi, et tout aussi bien à l’une qu’à l’autre des extrémités de l’élément K ; la courbe. . ."£&"4'k&EE"E". …. sera donc, pour cette position spéciale , formée par deux lignes droites ; ces lignes seront parallèles au plan directeur, et le plan P sera tangent à la surface aux deux extrémités de la droite indéfinie K. Si ce plan continue son mouvement , le point de contact , passé à la partie de l'élément K opposée à celle qu’il aura d’abord parcourue, reviendra peu à peu dans sa position initiale en parcourant l’autre partie.

Il est clair que les facettes infiniment petites traversées par l'élément K sur la surface donnée s’approcheront de plus en plus , vers les extrémités de cet élément , de coïncider avec Le plan P ; et que, cependant, la coïncidence n’aura jamais lieu, ou, ce qui est la même chose, n’aura lieu qu'à Pinfini. Le plan P , parallèle au plan directeur , est ce qu'on nomme par cette raison un plan asymptote (877 et 878) de la surface gauche.

247. Tout plan tangent en un point d’une surface gauche quelconque la coupant généralement suivant une courbe... "&"& EEE LE"... , il s'ensuit que lessurfacesgauches sont non convexes (150) en chacun de leurs points,

248. Jusqu'ici nous ne nous sommes presque point occupés de la représentation des surfaces gauches , la raison en est que cette représentation n’exige guère autre chose que la détermination des élémens de ces surfaces. Cependant, on marque aussi sur les plans de projection , conformément aux règles générales (156), les traces et les contours. de ka surface représentée. J

Les traces sont données par celles des élémens ; les contours sont des courbes tangentes aux projections des mêmes élémens (154) : ainsi, la détermination des.traces et des contours ne peut présenter aucune difficulté.

Il nous resterait à parler de l'exécution des planches 13 et r4, et des figures 5, 6et Ti, planche 9 ; mais elle est trop aisée pour qu’il soit nécessaire que nous nous y arrétions.

PAAAAAAAAAAA AN ANA AAA AAA AAA A RAA AAA AA AA AP AA AR AAA AAA RATIAANAAA VA PARA AAA AA