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(*} La démonstration qu’on vient de voir est extraite de la T'hcorie des transversales de M. Carnot, page 66, |

Fig. 2.

Fig, 2,

.233. Dans le triangle A°C'C, coupé par la sécante DB’, on aura donc; en écrivant d’abord le second membre,

A'B" x C'C' x DC — BC’ x C'C x DA’... (b).

Ce qui donnera, en multipliant les deux égalités (a) et (b} membre à membre,

A'A x A"B'x C'C'X BC x DA”>x DC—A'"A'x B'C'x CC x AB x DA’”>x DC,

ou, en supprimant le facteur commun DA” x DC, et en mettant les lettres dans l’ordre où se suivent les grandeurs qu’elles désignent,

AA! x A'B' x C'C’ x CB=— A'A" KB'C" x CC x BA... (6).

Ét comme cette égalité est due à la suppression du facteur DA” X DC, on remarquera qu’elle n'aurait pas lieu si la sécante BC’ coupait la diagonale A"C en un point D” différent du point D, car ce facteur serait alors DA” x D'C pour le premier membre, et DA” X DC pour le second.

Nous conclurons de là que par cela seul, que les deux sécantes. DA, DB", sont menées par un même point D de AC, ou, ce qui est la même chose, par cela seul.que les quatre points A”, B., C’, B', d'un quadrilatère gauche , forment un quadrilatère plan , le produit des quatre segmens discontinus AA, A°B”, C’C', CB, est égal à celui des quatre autres segmens aussi discontinus A'A°, BC", C'C, BA, ef réciproquement (*).

234. Cela posé, nous remarquerons'que de quelque manière que A'C’ divise les côtés, AA", CC”, on aura joie

Ra PE «(4 ou

AA" x C'C'=p X C'C x AA", £ ee sk às alé oh ed p étant un nombre égal au quotient de FUU divisé Par or Or, mettons cette valeur de AA’ x C’C’ dans l'égalité (c), nous aurons p X A'A ae x AB’ x Gi A x, B'C’ X C'C >x BA, (*) La manière dont ce théorème vient d’être déduit de celui du triangle est tirée de

la Correspondance de M. Hachette, tome NT, page 6, article de M. Chäsles. Le même ouvrage, tome IT, page 446, donne la démonstration du n° 234.

ou, en réduisant | ; p x AB’ x CB = BC” x BA; ce qui donne légalité