CHAP. EV. DES SURFACES ENVELOPPES

cutives de cette surface auront leurs centres infiniment rapprochés, et se couperont par conséquent suivant un grand cercle dont le plan sera per- | pendiculaire à la directrice. Or, l’ensemble de tous ces grands cercles formera une-surface particulière, qui touchera et enveloppera chaque position de la sphère mobile, et qui sera ce il ‘on appelle l'enveloppe de l'espace parcouru par cette sphère:

En général, si l'on conçoit qu'une surface varie de forme et de position suivant une loi donnée, deux positions consécutives de cette surface se coupent ou se touchent (c’est la même chose, puisqu'elles sont infiniment voisines et qu’elles diffèrent infiniment peu) suivant une courbe particulière, et l’ensemble de ces courbes est ce qu'on nomme une surface enveloppe.

250. On donne le nom d’enveloppée à la surface mobile et à chacune de ses positions.

L’intersection de deux enveloppées consécutives est une véritable géné ratrice, dont les variations de forme et de position sont données par le mouvement de l’enveloppée. Mais cette intersection étant d’une même nature pour toutes les enveloppes qui sont produites par la même enveloppée, elle imprime , ainsi qu'on le verra par la suite (275), un caractère général à toutes les surfaces soumises à la même génération , et c'est ce qui lui a fait donner par M. Monge le nom de caractéristique.

251. Il suit de la définition des enveloppes qu’elles touchent chacune de leurs enveloppées suivant la caractéristique correspondante; c'est-à-dire que les plans tangens à une enveloppée, suivant des points de la caractéristique, sont aussi tangens à l'enveloppe. ?

Concevons qu’une surface, constante ou variable de fornre, se meuve dans l’espace en restant assujettie à une loi donnée. La première position de cette surface sera coupée ou touchée par la position infiniment voisine suivant une position de la caractéristique ; la seconde position de l’enveloppée sera coupée par la troisième suivant une seconde caractéristique qui différera infiniment peu de la première, et qui en sera infiniment rapprochée ; la troisième position de la surface coupera la quatrième suivant une troisième caractéristique, et ainsi de suite.

D’après cela, une enveloppée quelconque étant coupée ou touchée par l’'enveloppée qui la précède, et par celle qui la suit, suivant deux positions consécutives de la caractéristique, il en résulte que ces deux positions sont sur une même enveloppée, et par conséquentque deux caractéristiques con-

sécutives, généralement parlant, se touchent où se coupent sur une enve= loppée, comme deux enveloppées consécutives se touchent où se coupent sur l'enveloppe.

La suite de tousces points d'intersections consécutives, où de contacts consécutifs, forme sur l'enveloppe une courbe particulière remarquable , qui touche toutes les caractéristiques , comme l’enveloppe touche toutes les enveloppes, et qui a recu le nom d’aréte de rebrousseméent.

252. Les arêtes de rebroussernent sont, Comme nous allons én voir un exemple (264) et comme nous le démontrerons par la suite (747), des lignes apparentes des’enveloppes, suivant lesquelles se réunissent par'un véritable rebroussement deux nappes (155) distinctes de ces surfaces. |

L'une de ces nappes est formée par l’ensemble des parties que les caractéristiques ‘ont d'an côté de larète de rebroussement, et l’autre nappe, par les parties des mêmes caractéristiques situées de l’autre côté des points de la même arête.

253. DES SURFACES DÉVELOPPABLES. Parmi les différentes sortes de surfaces enveloppes, ïil'y a un genre bien remarquable et bien utile dans les arts : c’est celui des surfaces développables.

On appelle ainsi les surfaces qui, étant supposées flexibles et inextensibles, sont de nature à pouvoir s'appliquer sur un plan, au moyen de simples fiéxidhs! sans déchirure et sans duplicature,

254. D'après'cela, si un plan se meut dans l’espace en restant assujetti à une loi déterminée , il est facile de ‘voir que l'enveloppe de son mouvement sera une surface développable. En effet, la première position de cé plan Sera coupée par la seconde suivant une droite; la seconde sera coupée par la troisième suivant une seconde droite; la troisième par la quatrième suivant une troisième droite, et ainsi de suite, en sorte que l'enveloppe sera composée d’une infinité d'élémens plans, compris chacun entre deux droites

communes à ses deux voisins. Cela posé, concevons qu’un premier élément plan tourne autour de son intersection avec le suivant, pour se rabattre sur le ‘plan de ce dernier ; que le plan formé par ces deux élémens tourne autour de l'intersection du second avec le troisième , pour se rabattre sur le plan du troisième ; que le plan de ces trois premiers élémens tourne autour de l'intersection du troisième et du quatrième , pour se rabattre sur le plan de ce dernier, ‘ét ainsi de suite, on verra que l'enveloppe du plan mobile est susceptible d’être appliquée sur'un plan, sans qu’elle se déchire ét sans

CHAP. IV. DES SURFACES ENVELOPPES. (ete

qu’elle se. double , et que cette enveloppe est par conséquent une surface développable (253).

255. Il est visible aussi que pour qu'une surface: soit développable, il faut qu’elle soit composée d’élémens plans, unis par des bords indéfinis en ligne droite : ainsi, l’enveloppe des positions successives d’un plan mobile est une surface développable; et, réciproquement, une surface développable est l'enveloppe d’un plan mobile.

256. Le plan étant donc l’enveloppée d’une surface développable quelconque, il s'ensuit que la caractéristique de ces surfaces est toujours une droite. Et comme deux caractéristiques consécutives d’une enveloppe sont toujours sur une même enveloppée, deux droites élémentaires consécutives d'une surface développable sont toujours sur un même plan, et se rencontrent par conséquent en un point. La suite des points d’intersection des caractéristiques consécutives forme sur chaque surface développable. une courbe particulière, qui est l’'arête de rebroussement de cette surface.

257. Cette arête touche les droites élémentaires de la surface, comme la surface touche les positions du plan mobile; car chaque caractéristique ayant deux points consécutifs communs avec l’arète de rebroussement, sa-voir : celui où elle est coupée par la caractéristique précédente, et celui où elle est coupée par la caractéristique suivante, il en résulte que chaque caractéristique, ou, ce qui revient au même, chaque droite élémentaire de la surface, est tangente à l'arète de rebroussement,.

258. Chaque élément est divisé en deux parties par l’arète de rebroussement; et toutes les parties situées d’un même côté de cette arête forment une nappe. de l'enveloppe. D'après cela, toute surface développable est, généralement parlant, composée de deux nappes, qui se réunissent suivant ce qu'on appelle son arète de rebroussement.

259. La loi du mouvement. du plan mobile peut être donnée d'une infinité de manières : ainsi, on peut assujettir ce plan à être constamment normal à une courbe donnée, ou tangent à deux surfaces données, ou à toucher une surface donnée suivant les points d’une courbe connue sur cette surface, etc., etc: |

260. On peut concevoir aussi qu’une surface développable quelconque soit engendrée, indépendamment de son, enveloppée :, car si l’on fait mouvoir une droite; de facon qu’elle soit constamment tangente à larête de, rebroussement de cette surface, deux positions consécutives de ax droite

PJ.

mobile seront dans un même plan, et l'ensemble de ces positions formera la surface développable en question.

261. Ce plan, qui passe par deux tangentes consécutives d’une courbe , étant ce qu'on appelle le plan. osculateur de cette courbe (95), on voit que toute Sul ace développable est l'enveloppe d'un plan mobile constamment osculateur à l'aréte de rebroussement de cette surface.

262. Parmi les surfaces que nous avons examinées, les surfaces cylindriques et coniques sont des surfaces développables. En effet, si l’on imagine qu'un plan toujours parallèle à la direction des élémens d’un cylindre, où passant toujours par le sommet d’un cône, se meuye de manière à contenir constamment la tansente à la directrice, les positions consécutives de ce plan se couperont dans le premier cas, suivant les élémens du cylindre, et dans le deuxième cas suivant les élémens du cône.

263. Pour éclaircir ce qui précède, nous allons faire connaître une surface développable sur laquelle on voit aisément toutes les propriétés qui viennent de nous occuper.

Soit (ABCDE, A'B'C'D'E") une hélice circulaire, dont le cercle horizontal ABCDE soit la base, et menons à cette hélice une suite de tangentes (AF, A’F'), (BG, B'G') ; (CH, CH”), etc. Il est clair, d’après ce que nous avons dit (260), que toutes ces tangentes formeront une surface développable dont l’hélice donnée (ABCDE, A'B'C'D'E') sera Parête de rebroussement. è

Nous avons vu (113) que la série des points À, m,n, O, P, Q..., où les tangentes (AF, A'F"), (BG, B’G'), (CH, CH}, etc., d’une hélice (ABC..., A’B'C'...), percent le plan horizontal, forment une courbe AmnOPQ, qui est la développante de ABCDE, Or, le plan horizontal de projection est ici un plan horizontal quelconque; donc, si Pon coupe l'enveloppe dont nous nous oceupons par un plan horizontal, arbitrairement choisi, on aura pour intersection la développante d’un cercle égal à ABCDE.

D’après cela, menons les plans horizontaux KK’, LL’, MM, EN, G’J'; il sera facile de construire les points où ils sont percés par chaque élément-de l’enveloppe, c’est-à-dire par chaque tangente de l’hélice donnée, ‘et en joignant par un trait tous ceux de ces poiuts qui sont dans un même plan, on obtiendra les intersections (AmnOPQ , KK’), (RSTU, LL), (VEX, MM), (FYZW, FN), (GHIJ A, G'J), de FenY EE et des plans KK’, LL’, MM’, etc.

Toutes ces tordu seront autant de développantes du cercle ABCD ; etil est pr que leurs points de rebroussement (A, A’), (S,S"), (E, E’), (Z, 7°), (A, A"), serontles intersections de l’hélice donnée (ABC. .., A'B'C'...) avec les plans KK’, LL”, MM’, etc.

264. Cela posé, imaginons la RAA EEE divisée en deux parties par son point de contact avec l’hélice donnée; nommons la partie qui est au-dessous de ce point , partie inférieure de la caractéristique, et l’autre, partie supérieure. Il est clair que chaque développante (VEX, MM’) se trouvera divisée par son point de rebroussement.(E,4Æ') en deux branches (VE, ME’), (EX, EM"), tellement que les parties inférieures des posi-

tions de la caractéristique perceront le plan MM suivant la branche (VE, ME"), et les parties supérieures suivant (EX, EM”).

Or, nous avons dit que larête de rebroussement divisait la caractéristique en deux parties, et l’enveloppe en deux nappes; les branches RS, VE, FYZ, GHIJA, appartiennent donc à la nappe inférieure de Penveloppe, et Îes branches AmnOPQ , STU, EX, ZW, à la nappe supérieure. Mais les branches de la première nappe rencontrent normalement, aux points (S, S’), (E, E’), (Z, Z'), (A, A"), le cylindre vertical ABCDE,; celles . delà séconde nappe partent de ces mêmes points, en revenant sur les premières aussi nor- .malement au même cylindre : donc les deux nappes de l’enveloppe se joignent sur lhélice donnée par un yrai rebroussement.

Cet exemple intéressant doit commencer à faire voir comment la génération d’une enveloppe produit une ligne de rebroussement.

365. Nous donnerons aux surfaces de la nature de celle que nous venons d'examiner le nom d’héliçoides développables (*). Leur caractère est d’avoir une hélice à base circulaire pour arète de rebroussement, ou, ce qui revient au même, c’est que l’enveloppée

de ces surfaces est le'plan qui passe par deux tangentes consécutives de cette hélice ;

c’est-à-dire son plan osculateur (26r).

Chaque enveloppée devant toucher lhélicoide tout le es d’un de ses élémens, il est évident que lenveloppée correspondante à l’élément projeté horizontalement en dDI, aura pour trace horizontale la tangente en d à la développante AmndO. Il est facile dé déduire de là que l’enveloppée qui correspond à chaque élément est la surface plane particulière menée par cet élément et par la plus courte distance entre ce même élément et Paxe de l’hélice.

Nous démontrerons, n° 639 , que les cylindres concentriques à celui qui contient l’arête de rebroussement coupent l’hélicoïde suivant des hélices de même pas (**).

266. Pour dessiner la figure avec facilité, nous avons d’abord construit l’hélice (ABC... , A’B'C'.:.), nous en avons déduit la développante GPIJAm2OPQ, et nous avons mené par les points A’ et A”, où la projection verticale de l'axe de l’hélice coupe la sinusoide A’B'CD'..., les MÉfiitles KK’, G’J". Cela fait, ayant supposé que la première branche de cette développante soit dans le plan horizontal G'J”, et la seconde

dans Je plan horizontal KK’, que nous ‘avons choisi pour plan de projection, nous avons divisé le cercle ABCD en parties égales; par chaque point de division nous avons mené la tangente correspondante Gm; nous avons pris cette tangente POPR la pr ojection horizontale d’un élément, et, pour avoir sa projection AOTTE G'm’, nous avons mis le point m en projection verticale en m”° sur (AmnOPQ » KK°’), le point G en projection verticale en G sur (GHIA, G’J"), et nous avons mené la projection cherchée G'77’.

267. Exécution de l’épure. Pour mettre au trait les lignes construites, nous avons supposé lenveloppe limitée aux plans horizontaux KK’, G' 2 Il résulte de cette suppo-

(*) I sera question dans lé Complément (723) d’un genre de surfaces gauches que nous nommerons hélicoides gauciies, qui ne doivent pas être confondues avec les hélicoïdes développables. (f*} On verra dans-la suite (729) que l’hélicoïde gauche jouit aussi de cette propriété.

PI

Plus

Fig. 3.

sition que la courbe supérieure GHIJ A est vue, ainsi que la nappe correspondante à cette courbe. La distinction des parties pleines et ponctuées des lignes de l’épure, en.projection horizontale, s'ensuit tout naturellement. Quant à la projection verticales elle ne présénte aucune diMculté.

268. DE LA REPRÉSENTATION des enveloppes ; des surfaces de révolution comme enveloppes ; etc. Nous n'avons pas parlé jusqu'ici des moyens de représenter une enveloppe; mais il est facile de voir qu’on doit considérer : la caractéristique comme une génératrice, construire un nombre suffisant de ses positions, et en déduire les traces de l'enveloppe et les contours de ses projections.

La planche 15 et les figures 2 et 3, pl. 12, offrent trois exemples de représentations d’enveloppes. Ce qui a été dit plus haut (263-—267) éclaircit suffisamment ce qui est relatif au premier; et pour que l’on entende bien ce qui concerne les deux autres, il nous suflira de faire voir comment chaque surface de révolution est susceptible de plusieurs générations à la mamière des enveloppes.

269. Soit , 0/0") l'axe d’une surface de révolution, et soit ( xy! : UMVIN » » XV Le la méridienne de cette surface. Menons par un point m une tangente 71q à cette méridienne , et imaginons que la courbe et la tangente se meuvent en même temps autour de l'axe de révolution ; il'est clair que la courbe engendrera la surface donnée; que la tangente engendrera une surface conique droite, dont le sommet scra en (0, qg), et que ces deux surfaces se toucheront suivant le cercle run’. Or, si lon imagine que le point 5 se meuve sur la méridienne, il est évident qu'il correspondra à chacune de ses positions une surface conique droite , analogue à celle dont le sommet est en (0, q); que deux surfaces RUE consécutives se cou peront suivant une Caractéristique circulaire #1", et que l’ensemble de ces . caractéristiques formera la surface donnée. Donc cette surface n’est autre chose que l'enveloppe du mouvement d’un cône droit, dont l'axe est l’axe de révolution , et dont la génératrice est la tangente m4 de la méridienne.

270. Par un point quelconque 7 de la méridienne, menons la normale n'r de cette méridienne, et du point r, intersection de #'r et de 0'0”, comme centre, avec n'r comme rayon, décrivons le cercle nstn!. Iest clair que ce cercle et la méridienne umvwxn...n'x's'm'u", se toucheronten net n'; donc, si l’on imagine que le système du cercle et de la méridienne tourne autour de l'axe de révolution, le cercle engendrera une sphère, la méridienne engendrera la surface donnée, et ces deux surfaces se touche

ront suivant le ceréle #7’. Si donc on suppose que le point 7 se meuve sur wmv'x'n', il correspondra une surface sphérique à chacune de ses positions ; ces surfaces consécutives se, couperont suivant des caractéristiques circulaires »n', et l'enveloppe de ces surfaces sphériques sera la surface donnée. |

271. Imaginons maintenant que la méridienne (77°, umvxn...n'x'o'm'u) soit la base d’un cylindre droit, dont la génératrice soit une ligne droite constamment perpendiculaire au plan 77’; il est clair que ce cylindre et la surface donnée se toucheront suivant la méridienne y7'. Or, imaginons que cette méridienne se meuye autour de l'axe de révolution, et qu’elle emporte avec elle le cylindre en question ; 1l est évident que ce cylindre prendra une infinité de positions, qui se couperont consécutivement deux à deux suivant des méridiennes : donc l'enveloppe décrite ne sera autre chose que l’ensemble de ces méridiennes , c'est-a-dire que la surface donnée.

272, Îl nous arrivera souvent de considérer une surface de révolution comme l'enveloppe d’un cône droit, vertical et variable de forme, mobile le long de l’axe commun à la surface et au cône; ou comme lenveloppe d’une sphère mobile sur l'axe de révolution et variable de rayon; ou enfin comme l'enveloppe d'un cylindre horizontal constant de forme et mobile circulairement.

Dans quelques problèmes, on pourra substituer à une surface de révolution son enveloppée, conique, sphérique ou cylindrique ; et comme il sera facile d'opérer sur l’enveloppée, on se trouvera conduit, par les propriétés des enveloppes, à un moyen de solution extrémement utile (554—356,

273. Quoique la génération des enveloppes paraïsse fort abstraite, elle est cependant employée par beaucoup d’artistes, particulièrement par les tourneurs et par les ferblantiers.

Les derniers savent courber une feuille de fer-blanc autour d’une suite de droites, situées sur cette feuille, et tellement disposées que le plan de la feuille se change en une surface développable, dont ce plan, pendant le travail, est l’enveloppée mobile.

Les tourneurs finissent leurs ouvrages avec un instrument dont le taillant est une droite. Lorsqu'ils travaillent, ce taillant décrit, par rapport à la surface de révolution qu’ils veylent exécuter, une enveloppée conique de cette surface, et c’est en variant convenablement la direction de l'instrument, que les différentes zones des enveloppées se fondent imperceptiblement les unes et les autres avec la surface à faire.

274. Il est clair, d’après cela, que l'habitude doit donner aux ouvriers tourneurs et ferblantiers quelque idée de la génération des enveloppes ; mais ce qui paraïîtra peut-être

ER

100 LIVRE Il, SURFACES COURBES.

surprenant, c’est qu'ils en ont un sentiment très délicat, et que c’est ce sentiment qui leur fait connaître, à la simple inspection d’une surface, s’ils peuvent ou non l’exécuter.

Ainsi, en supposant qu'on ait rassemblé des modèles de surfaces développables, de surfaces de révolution, et de surfaces gauches (*), et qu’on demande à des ferblantiers et à des tourneurs intelligens de trier toutes celles qu’ils peuvent exécuter, on conçoit que le ferblantier mettra de côté toutes les surfaces développables, le tourneur toutes les surfaces de révolution, et qu'aucun des deux ne se chargera des surfaces gauches. G

275. Or, les surfaces gauches sont le résultat du mouvement d’une droite, comme les surfaces développables : à quoi donc le ferblantier distinguera-t-il les premières des dernières? le voici. Dans les surfaces gauches, la droite mobile n’est qu’une simple génératrice, et, dans les surfaces développables, c’est une caractéristique placée sur une petite zone plane infiniment étroite, qui donne le sentiment de l'enveloppe, et qui indique au ferblantier qu'une enclume cylindrique ou conique pourra être substituée à cette enveloppée, et servir à ployer une feuille de fer-blanc convenablement BQur en faire une surface développable. :

De même, une surface de révolution peut être produité par le a an, d’un cercle, comme toutes les surfaces cylindriques.et coniques à bases elliptiques (**) : maïs le cercle mobile n’est, dans ces surfaces, qu’une génératrice ordinaire, et, dans la surface de révolution, il est la courbe de contact de l'enveloppe et de l’enveloppée, c’est-à-dire une caractéristique. Or c’est cette caractéristique qui indique au tourneur qu’en faisant décrire à son ciseau, par rapport au corps à tourner, des, surfaces coniques droites, ce ciseau, conduit avec intelligence, produira leur enveloppe, et pourra conséquemment servir à exécuter toutes les surfaces de révolution possibles, tandis qu’il ne peut pas servir à exécuter des surfaces développables qui ne seraient pas de révolution.

On conçoit par là que le nom de caractéristique, choisi par M. Monge, auquel on doit ces observations, est tout-à-fait convenable. 4er

(*) Nous supposons qu’il n’y ait pas, parmi ces modèles, de surface à la fois gauche et de révolution , on à la fois développable et de révolution.

(**) Une surface conique ou cylindrique à base elliptique peut toujours être coupée suivant des ecrele par deux systèmes de plans parallèles (605 et.53r).