CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales.

T. Ox appelle projection orthogonale d’un point sur uu plan, le pied de la perpendiculaire abaïssée du point sur le plan. Aïnsi, en menant par un point À une droite AB perpendiculaire au plan MNO, le pied B de PI: cette perpendiculaire sera la PRIME du point A sur le plan de pro- *#" jection MNO.

2. Nous appellerons la ligne AB qui sert à déterminer la projection B du point À, ligne ou droite projetante du point A.

3. Si des points M, N, P, Q..., d'une ligne quelconque, on abaisse Fig. 2. des perpendiculaires MM’, NN’,,PP', QQ'..., sur un plan de projection XYZ, la suite des pieds M”, N’, P”, Q’..., de ces perpendiculaires, formera sur le plan XYZ, une courbe particulière M'N'P'Q'..., qui sera ce qu'on appelle Za projection orthogonale de la ligne MNPQ...

4. Si la ligne donnée MNPQ... est une ligne droite, les perpendicu- Fig. 3. laires MM’, NN’, PP’, QQ', etc., abaissées de ses différens points sur le plan de projection XYZ seront dans un même plan, passant par MQ, et

Figsta:

perpendiculaire au plan XYZ. Donc, les pieds de ces perpendiculaires seront sur l’intersection M'Q° de deux plans, c’est-à-dire sur une ligne droite ; donc la projection orthogonale M'Q' d’une droite, est elle-même une ligne droite. |

Une droite étant déterminée lorsqu'on connaît deux de ses points, 1l sufiira d'obtenir les projections M’ et Q' de deux points M et Q de la droite MQ, pour construire la projection M'Q' de cette droite.

Et puisque le plan MQQ'M' est perpendiculaire au plan de projection XYZ, on pourra considérer la projection M'Q' de MQ comme lintersection du plan de projection avec un second plan MQQ'M', mené par MQ perpendiculairement à XYZ.

5. Le plan MQQ'M’ qui passe par une droite MQ, et qui est perpendiculaire à un plan de projection XYZ, est ce qu'on appelle le plan projetant de cette droite.

6. Les surfaces qui sont formées par des droites MM’, NN’, PP',00'..., abaissées des poinis d’une courbe MNPQ... perpendiculairement à un plan de projection XYZ, sont appelées surfaces. projetantes , a cause de leur analogie avec les droites projetantes et avec les plans projetans (*).

Il est clair que la projection M'N'P'Q'... d’une ligne courbe MNPQ..., n’est autre chose que l'intersection du plan de projection XYZ avec la surface projetante MNPQ.. .Q'P'N'M', menée perpendiculairement au plan XYZ par la courbe MNPQ...

7. Ainsi que l'introduction a dû le faire apercevoir, on peut , en général, opérer sur les grandeurs géométriques au moyen de deux plans rectangulaires de projection. Dans les arts, l’un de ces plans,est horizontal, et l’autre vertical; en sorte que les lignes projetantes qui correspondent à la projection horizontale, ont une situation verticale, et que les lignes projetantes relatives à la projection verticale, sont des horizontales.

De là est résulté l'usage de considérer toujours l’un des plans de projec: : tion comme horizontal, et l’autre comme vertical. Cet usage est très avantageux, parce qu'au moyen d'une supposition toute simple, il fixe les idées sur des dispositions principales dont tout le monde a le sentiment.

Quels que soient donc deux plans rectangulaires de projection , nous nommerons l’un, et ce sera d'ordinaire celui dont l'emploi sera le plus

(*) On verra par la suite (168) que les surfaces projetantes appartiennent à la famille des. surfaces cylindriques.

remarquable, plan horizontal, et nous donnerons à l’autre le nom de plan vertical. Les lignes perpendiculaires au premier s’appelleront conséquemment des lignes verticales, et celles qui lui seront parallèles seront des horizontales.

8. La ligne d’intersection des deux plans de projection s’appellera ligne de terre (*).

9: Nous ne donnerons aux projections l’épithète d’orthogonales que lorsqu'il s'agira de les distinguer des projections obliques.

Pour donner une idée claire de ces dernières, concevons qu'on ait construit sur un plan les projections orthogonales d’un point , d’une droite et d’une ligne courbe, et imaginons que l’on prolonge la ligne projetante du point, le plan projetant de la droite, ‘et la surface projetante de la courbe, jusqu’à leurs intersections avec un plan incliné connu : ces intersections seront sur ce plan, les projections obliques du point , de la droite et de la courbe en question. |

On n’a recours aux projections obliques , et aux plans de projection obliques entre eux, que lorsqu'il en résulte quelque simplification d'opération tout-à-fait évidente. D’après cela, nous nous occuperons uniquement des projections orthogonales faites sur des plans rectangulaires (**).

10. Cela posé, passons à l'usage des plans de projection, et montrons d’abord comment on réunit le plan vertical au plan horizontal, par un rabattement fait autour de la ligne de terre.

Soient VUTS et PQRO deux plans rectangulaires quelconques de projection, et supposons que l’on prenne le premier pour plan horizontal, et le dernier pour plan vertical. Pour pouvoir opérer sur le système de ces plans, on imagine que le plan vertical PQRO tourne autour de leur intersection commune MN, et qu'il vient coincider avec le plan horizontal. Il est clair, en supposant que les figures MNTU, MNOP, MNSV, MNRQ, soient quatre rectangles égaux, qu'après le mouvement, la partie supérieure MNRQ du plan vertical se trouvera confondue avec le rectangle

MNSV , et la partie inférieure MNOP, du même plan vertical, avec le rectangle MNTU.

(*) Ce nom vient de ce que, dans les applications où l’on prend le sol pour plan horizontal , l'intersection des deux plans de projection représente le terrain sur le plan vertical. (*) Lorsqu'on connaît l'emploi des projections orthogonales, on connaît aussi celui des projections obliques. On verra, n°%613 et 614, un exemple de l'emploi de ces dernières.

Fig. 4.

et 5.

Construisons sur un plan le rectangle outs égal à VUTS, et menons la droite mn de manière que les parallélogrammes mntu , mnsv , soient égaux entre eux. On pourra remplacer par la figure vuts , le système des deux plans de projection VUTS, PQRO (supposé réduit au seul plan PQRO, par le rabattement du plan vertical sur le plan horizontal), pourvu que l'on concoive perpétuellement, que l’un des deux plans de projection soit relevé perpendiculairement au plan vuts , au-dessus de la ligne de terre mn. Aïnsi, quand on considérera le rectangle mntu comme un rectangle horizontal, on concevra le rectangle mnsv comme relevé perpendiculairement à la figure autour de la droite mn; et quand on considérera le rectangle mnsv comme vertical, c’est le rectangle mntu au contraire qui sera à son tour concu comme relevé sur mn perpendiculairement au plan de la figure.

De plus, le plan unique vuts pourra remplir le même objet que les plans séparés VUTS, PQRO; car la ligne de terre mn réunira sur le plan vuts la projection horizontale et la projection verticale, tout aussi bien que si elles étaient dans des plans rectangulaires menés par cette ligne ; et l'avantage de n’avoir qu’un plan rendra toutes les opérations faciles.

Montrons maintenant, comment on représentera sur ce plan, un point, : une courbe et une droite.

11. Soit À un point quelconque situé entre les plans de projection MNTU , MNRQ, et concevons que l’on ait abaissé de ce point les lignes. projetantes Aa, Ab, qui déterminent la projection horizontale à du point À et sa projection verticale D. Il est clair que ces deux projections définiront la position du point À : en effet, la première exprimera qu'il est sur’ la verticale aA, la seconde sur l’horizontale DA ; d’où l’on voit qu'il sera nécessairement la commune intersection de 4aA et bA.

Cela posé, rabattons le plan MNRQ en MNSV ; le point à viendra s’abattre en a’, et les deux points & et a' définiront la position du point A; car, connaissant la ligne de terre MN, il ne s'agira que de relever le plan MNSV en MNRQ , pour ramener le point a! en b, et trouver conséquemment la position du point A.

Nous devons conclure de là, que lorsqu'on connaît la projection horizontale a d’un point À, et le rabattement a! de sa projection verticale b, rabattement que l’on nomme aussi la projection verticale du point À, on connaît la position de ce point par rapport aux plans de projection.

12. Et comme le plan des deux lignes projetantes A4, AD, est perpendiculaire aux deux plans de projection , et par conséquent à leur intersec-

tion commune , il coupe nécessairement ces plans, suivant deux droites ah, bh, perpendiculaires en un même point X de la ligne de terre MN. Or, lorsqu'on rabat le plan MNRQ en MNSV, la ligne DA vient en a'h; l'angle bhM ne varie pas dans le mouvement ; donc les angles a'2M, a4M, sont droits; donc la ligne aha' est une ligne droite : donc enfin , après la réunion des deux plans de projection en un seul plan, la droite aa’ qui joint les deux projections a et a’ d’un même point, est perpendiculaire à la ligne de terre MN.

13. Les lignes a'h, bh, étant égales entre elles et égales à la hauteur Aa du point À au-dessus du plan horizontal, on peut remarquer que les projections a et a’ donnent d’une manière fort simple la position du point À auquel elles appartiennent. En effet, la projection horizontale « détermine la verticale aÀ qui contient ce point; et la projection verticale d', par sa distance ah, à la ligne de terre, indique à quelle hauteur, audessus du plan horizontal, est situé le point À sur la verticale aA.

14. D'après ce qui précède, si l’on mène sur le plan vxés une ligne quelconque PP’, perpendiculaire à mn, et qu'on prenne sur cette ligne un point P que l’on concevra sur le plan horizontal, etun point P' que l’on concevra sur le point vertical , ces deux points représenteront un point de l'espace dont ils seront les projections, et qui sera situé dans la verticale passant par le point P , à une hauteur au-dessus du plan horizontal égale à pP’. .

15. Un point étant, comme on le voit, rigoureusement représenté par ses deux projections, il est naturel, pour le désigner , de les nommer l’une et l’autre. Nous indiquerons en conséquence par (P, P’) le point dont P et P/ sont les projections, et nous mettrons toujours entre parenthèses la projection horizontale P la première. AS

Lorsqu'un point P sera situé dans l’un des plans de projection , 1l sera lui-même sa projection sur ce plan; il aura sa deuxième projection p sur la ligne de terre, et nous l’appellerons simplement le point P. Cependant, lorsque la clarté du discours l’exigera, nous le désignerons comme à l'ordinaire au moyen de ses deux projections.

16. Sachant représenter un point, la manière de représenter une courbe ne donnera lieu à aucune difliculté ; car les deux projections de cette courbe détermineront complètement sa forme et sa position. Pour le prouver, soit ABC la projection horizontale d’une courbe, et A'B'C' sa projection verticale rabattue sur le plan horizontal. Il est clair que si lon mène per-

Fi

Fig

Fig.

tel

des

pendiculairement à la ligne de terre une droite quelconque BB, elle déterminera en général sur les lignes ABC, A'’B'C', deux points: B et B', qui seront les deux projections d’un point (B, B'}) de la courbe en question. Or, on connaïitra la position de ce point dans l’'espace, dès que la ligne BB’ sera menée. Si donc on fait varier la position de cette ligne, en la laissant toujours à angle droit sur mn, on connaîtra successivement les positions de tous les points de la courbe ; donc la forme et la position de ceite courbe sont exactement décrites 1e les projections ABC, A’B'C'.

17. Si l’on veut se figurer aisément la situation de cette même courbe, on imaginera par les différens points de la ligne ABC, des perpendiculaires au plan horizontal; ces perpendiculaires formeront une première surface projetante facile à concevoir : On imaginera pareillement une se conde surface projetante menée par la ligne A'B'C’; on concevra que le plan vertical soit relevé perpendiculairement au sb horizontal autour de la ligne de terre , et les deux surfaces projetantes devant se couper suivant la courbe dont il s’agit, on aura, par l’idée des formes de ces surfaces celle de la situation de cette courbe | |

18. Pour désigner une ligne courbe, nous écrirons ses projections, en : commençant par la projection horizontale, entre les branches d’une parenthèse : ainsi celle dont nous venons de nous occuper s’appellera la courbe | (ABC, A'B'C').

Lorsqu'une courbe sera dans l’un des plans de projection, elle sera elle-même sa projection sur ce plan, elle aura pour seconde projection la : ligne de terre, et nous nous contenterons ordinairement ] pour la désigner À la nommer elle-même.

19. Supposons maintenant qu'il s'agisse de représenter une droite quelconque CD , située comme on voudra par rapport aux plans de projection. On mènera pour cela par cette droite deux plans CDdc, CD/e , respectivement perpendiculaires aux plans MNTU, MNRQ; ils détermineront sur ces plans les deux projections cd, ef, et lorsqu'on rabattra le plan vertical sur le plan horizontal, la dernière ef, viendra s’abattre en cd’. Or les deux projections cd, c'd', détermimeront la droite CD ; car si l'on élève par la première un plan projetant vertical cCDd, et qu'ayant ramené la seconde en ef, on mène par cette droite ef le plié projetant eCD/, l'intersection de ces deux plans sera la droite CD.

I] suit de là, que si l’on trace sur un plan xyzw, une droite mn; que

J'on prenne cette droite pour intersection d’un second plan perpendiculaire au premier; que l’on trace deux droites PQ, P’Q’, sur le plan xyzw ; que l’on suppose la première sur le plan même de la figure, et que l’on imagine que la seconde soit sur le rabatiemeet du plan perpendiculaire, les lignes PQ, PQ", représenteront une droite dont la position sera connue par rapport au plan xyzw.

Si l’on veut avoir un point de cette ligne , on mènera une droite quelconque PP’ perpendiculaire : à la ligne de terre; elle coupera les projectons PQ, P'Q”, en deux points Pet P”, qui détermineront un point (P, P’), situé dans la verticale menée par le point P, à une hauteur pP/ au-dessus -du. plan horizontal, et ce point sera sur la droite en question.

20. En. déterminant ainsi plusieurs points de ceite droite, on se ferait l'idée de sa position; mais il est évident que le moyen le plus simple et le ‘plus naturel qu’il convienne d'employer pour se la figurer dans l’espace, c'est de concevoir les deux plans projetans dont elle est l'intersection et qui correspondent à ses projections.

21. Nous emploierons, pour désigner une ligne droite, la même notation que nous employons pour désigner les points et les lignes courbes. Ainsi PQ et PQ” étant les projections de cette droite , nous l’appellerons la droite (PQ, PQ). Nous aurons soin d'écrire toujours la projection horizontale PQ. la première entre parenthèses. |

. Lorsqu'une droite sera située dans l’un des plans de projection, elle aura la ligne de terre pour seconde projection, et nous l’indiquerons tout simplement en la nommant elle-même.

22. Connaïssant la manière de représenter un point et celle de représenter une droite, il s'ensuit plusieurs moyens de définir la position d’un plan ; car on peut se le donner par le système de trois points, par une droite et un point, ou par le système de deux droites. Mais aucun de ces -moyens, considérés dans cet état de généralité, ne convient pour re- ‘présenter un plan. Le système de trois points est compliqué et ne donne «pas immédiatement l’idée du plan quasées points déterminent. Le système d’une droite et d’un point a les mêmes inconvéniens. Quant au système de deux droites , il est en général encore plus compliqué que les précédens, “puisque la représentation de ces droites exige ordinairement l'emploi de -quatre projections ; mais, en le simplifiant , il devient le plus commode et le plus naturel qu'on puisse imaginer.

En effet, on peut prendre pour les deux droites qui déterminent un

Fig. 6

plan, celles AB, BC, suivant lesquelles il coupe les deux plans de projection. Alors ces deux droites suffisent à leur propre représentation, et en concevant le plan vertical relevé au-dessus de nn, elles donnent immédiatement l'idée du plan auquel elles appartiennent.

23. Les intersections AB, BC, d’un plan avec les plans de projection, sont appelées ses traces.

24. En général, toute intersection d’une ligne ou d’une surface avec les plans de projection , prend le nom de trace. Les traces qui sont situées sur le plan horizontal s'appellent des traces horizontales ; et celles qui sont situées sur le plan vertical , s'appellent des traces verticales.

IL est évident que toutes les traces horizontales possibles se projettent sur le plan vertical suivant la ligne de terre. De même, toutes les traces verticales ont la ligne de terre pour projection horizontale.

25. D’après cela, une droite AB étant l’intersection d’un plan donné avec le plan horizontal de projection, cette droite est ce qu’on appelle la trace horizontale du plan donné; elle est elle-même sa projection horizontale , et elle a pour projection verticale la ligne de terre mn. De même, l'intersection BC du plan donné et du plan vertical est ce qu’on nomme la trace verticale du plan donné. Cette trace est elle-même sa projection verticale, et la ligne de terre mn est sa projection horizontale.

26. Comme on l’a déjà dit, les deux traces AB, BC, d’un plan quelconque, le déterminent complètement; et 1l est clair qu’elles se coupent en un même point B de la ligne de terre.

27. Quand nous voudrons désigner un plan, nous le nommerons, au moyen de ses traces écrites entre parenthèses, la trace horizontale la première. Ainsi, le plan dont on vient de s'occuper, s’appellera le plan (AB, BC).

Lorsqu'un plan sera perpendiculaire à l’un des plans de projection, sa trace sur ce plan suffira pour le déterminer, et nous la nommerons souvent seule quand il faudra le désigner. D’après cela, le plan projetant vertical de la droite (PQ, P'Q), s’appellera A le plan RQ: et le plan projetant perpendiculaire au plan vertical, et appartenant à la même droite, s’appellera le plan P” Q.

28. Concluons donc de ce qui précède, qu'au moÿen d'une surface plane sur laquelle on trace une droite, que l’on conçoit être la charnière d’un plan perpendiculaire à cette surface et rabattu sur elle , on représente

rigoureusement, et d’une manière très simple, un point, une droite [pourvu

qu'elle ne soit pas perpendiculaire à" la ligne de terre (34)], une courbe et un plan quelconques (*).

29. En général, les projections horizontales se font sur la partie antérieure MNTU ou #ntu du plan horizontal, et les projections verticales sur la partie supérieure MNRQ du plan vertical, laquelle sa rabattue sur le plan horizontal en MNSV ou mnsv.

Mais cela supposé que les grandeurs que l’on répété soient dans l'angle UMQRNT des deux plans de ‘projection, et c'est ce qui nest pas toujours possible : car les données d’une question , les grandeurs qui la résolvent et celles qui concourent à sa résolution, par leur nature ou par le choix des plans de projection, peuvent pénétrer dans les quatre angles de ces plans. Alors on est obligé d’employér avec les parties antérieure et supérieure de ces mêmes plans, la partie postérieure MNSV du plan horizontal et la partie inféricure MNOP du plan vertical.

30, Cela exige qu'on ait toujours dans la pensée l’idée bien nette des positions des quatre parties MNTU , MNRQ, MNSV, MNOP , des deux plans de projection , par rapport à la feuille de dessin dont on se sert. Or, la partie MNTU, que nous nommons la partie antérieure du plan horizontal, est toujours en mntu, en-decà de la ligne de terre, vers le dessinateur. La partie supérieure MNRQ du plan vertical, est toujours en mnsv au-delà de la ligne de terre, La partie postérieure MNSV du plan horizontal coïncide en mnsv avec la partie supérieure du De vertical; toutefois on l'imagine au-dessous de cette dernière, parce qu’en se rabattant autour de MN, la figure MNRQ s'applique nécessairement sur le dessus de MNSV. Enfin, " partie inférieure MNOP du plan vertical coïncide en mntu avec la pére antérieure du plan horizontal ; mais on la conçoit au-dessous de cette dernière, parce qu’elle a dù venir s'appliquer en dessous de MN TU, par son mouvement autour de MN.

Il peut sembler indifférent que deux plans quise confondent soient censes avoir leurs parties au-dessus ou au-dessous les unes des autres; mais à mesure que nous avancerons, on verra que la manière de les imaginer réunis qui vient d'être indiquée, conduit à des distinctions de parties vues et de parties cachées, qui sont d’une grande utilité pour l'intelligence des projections (50 — 56). Au reste, cette manière de concevoir la réunion des

(*) Il y aurait exception si le plan à représenter passait par la ligne de terre, et si la

courbe à représenter était dans un plan perpendiculaire à cette ligne.

Fig, 4

Pr:

Fig. 4, 5 et 6.

Fig. 6.

TJ GE D

10 213 LIVRE Je PRÉLIMINAIRES.

plans. de projection , comme!si ces plans étaient des lames solides infiniment minces, qui se fussent appliquées l'une sur l’autre par la rotation de l’une sur une charnière qui:leur serait commune, est tout-à-fait naturelle. |

31. Jusqu'ici nous avons fi jguré tn plans de projection bords à des contours VÜUTS, PQRO, outs, xyzw ,etc.; nous-devons prévenir que est uniquement pour, pouvoir à nommer et les dessiner. L'idée qu'on doit attacher à ces plans CES qu ‘ils. sont indéfinis. DEPOT

On.doit imaginer de même que les projections PQ, P' Q, d’une droite, et les traces AB, BC, d’un plan, de quelque manière qu'elles soient placées sur les plans de projection, soient indéfiniment prolongées par leurs deux extrémités. Ên général, toutes les grandeurs que l’on considère dans la Géométrie descriptive sont conçues indéfinies, et c’est un caractère qui distingue les conceptions de cette science , de celles de la Géométrie élémentaire , dans laquelle on n’examine ordinairement que les propriétés de parties. finies de l'étendue.

32, Ce serait ici le lieu de parler de la représentation des surfaces courbes; mais nous sommes encore trop peu familiarisés avec le mécanisme des projections pour entamer cet objet : il sera traité livre IL. 4

Avant de passer à la résolution de quelques. problèmes importans , qui vont faire la matière du second chapitre des préliminaires, occupons-nous de la représentation d'une droite et d’un plan PR leurs positions les plus remarquables,

53. S'il s’agit d'une-droite, Lis pourra être perpendiculaire au plan horizontal, perpendiculaire au plan vertical , parallèle à ce plan, parallèle au plan hr izontal , perpendiculaire à la ligne d terre, ou parallel à cette ligne. | Si elle est perpéndiéuléité au plan horizontal, elle se projettera sur ce plan suivant un point A, et sur le plan vertical suivant une droite A’A", perpendiculaire à la ligne de terre MN. Si elle est: perpendiculaire au plan vertical, sa projection verticale sera un point P’, et sa projection horizontale une droite PP', perpendiculaire à MN. On nommera Bi première (A, AA), et la seconde (PP, P"). |

Si.elle est parallèle à l’un des plans de projection , elle se puede sur l’autre suivant une parallèle à la ligne de terre : ainsi, la droite (AB, A'B'), telle que la projection horizontale AB soit parallèle à MN, est parallèle au plan vertical.

‘2Ld droite (CD >: CD}; telle: que: la projection verticale: A soit parallèle à MN, est ühe ‘droite parallèle au plan ‘horizontalss 1111

Nous ferons observer que l'angle de la droite (AB, AB ou! D, CD”), avec le plan de projection auquel elle: n’est pas parallèle, :se mesure: par l’ângle dela ligne de térre: avec là’ projection correspondante A'B'ou CD. Ainsi, la première de ces droites ferait un angle de 45 degrés avec le/plan horizontal, et la seconde avyec!le: plan vertieal si ” Pr de A'B'ét MN, CD et MN étaient de 45 deprésasig ortost rine s

> 34. Quant à la droite perpéendieulairé en ‘un po R dé la Née de terre, il'est clair qu'elle aura ses projections PR} RQ, perpendiculaires à MN, et dans le prolongement l’une de l'autre; car les plans projetans PR, RQ, la contiendront nécessairement : mais comme ces plans se confohdéut ; leur'intersectionest indéterminée, ainsi que la droitedontils agit. Et cela doit être, puisque rien jusqu'ici ne distingue cette droite de toute autre ;! qui serait perpendiculaire au même point R'de MN.

Si donc on veut HÉPTERN MER uñe droite perpendiculaire en R à la ligne de terré, il faudra recourir à un autre systeme de plans de projection; et, parmi une infinité d’autres qne l’on pourrait choisir , il sera tout naturel de conserver le plan horizontal, et de remplacer le plan vertical MN par le plan vertical PR. Lorsqu'on rabattra ce dernier plan en PRMT, la droite en ie ide viendra prendre une position RT, telle que l'angle PRT soit égal à celui qu’elle forme avec le. plan horizontal , et cette vers ) (PR, RT), sera entièrement déterminée.

On remarquera en passant, que le système de plans de projection qui se croisent à angle droit suivant MN est également insuflisant pour la représentation de toute autre droite , située dans le plan PQ perpendiculaire à MN; et qu'on supplée de même tout simplement à cet inconvénient par le moyen d’un second plan vertical, tel:que PR: Vin

55. Enfin, si une droite (AB, A’B'), est, à la fois TA aux. 40 plans de projection, elle se projettera sur chacun. d'eux suivant des parallèles AB, A'B’, à la ligne de ‘terre.

36. Considérons maintenaut un plan : il pourra être perpendiculaire ou parallèle à l’un des plans de projection , perpendiculaire à la fois à ces deux plans, c ’est-à-dire perpendiculaire : à a ligne #4 terre , ou parallèle à cette ligne.

S'il est perpendiculaire au plan horizontal , il coupera le plan vertical suivant une perpendiculaire à la ligne de terre; ainsi, sa trace verticale

Fig. 4.

Fig. 4.

BC sera perpendiculaire à MN. ILest clair que'sa trace horizontale AB fera avec la ligne de terre un n angle ABN ÿ 7 sera celui du plan (AB; BC) avec le plan vertical.

De même, un plan (AB, BC), perpendiculaire au Le reset aura

sa trace AB sel MEN à MN; juet fera avec le! spa horisontai un

angle NBC. ,

Sile plan est parallèle : à l'un des Na dle projection, il ne le: coupera pas, etil aura pour trace sur l’autre plan de-projection une droiïte parallèle à la ligne de terre: Ainsi, AB et MN:étant des droites parallèles situées dans le plan horizontal; le plan AB sera-un plan perpendiculaire au plan horizontal, et parallèle au plan vertical MN.

De même, PQ étant une Parallèle; à MN , tracée sur le plan vertical, le plan PQ sera un plan Re PEMHEu AIR au tilan ver riieal et pee au plen horizontal, |

S'il s’agit d’un plan à la fois perpendiculaire aux deux plans de projection, c'est-à-dire perpendiculaire à, la ligne de terre , sa trace horizontale et sa trace ‘verticale se confondront en, une même higne PQ perpehdier laire à MN.

Enfin, un on parallèle à la ligne de terre aura ses traces AB, AB,

parallèles à MN. huntiriaté: er | ns

AAA AAA VAT AAA AAA AAA AAA LA TR AAA AA AAA AAA AAA AAA AAA ANA RAA AAA AAA AAA AAA