CHAPITRE IL
Résolution des principaux problèmes que l'on peut proposer sur le point, la ligne droite et le plan , considérés par rapport aux plans de projection. Conventions sur la manitre de mettre au trait les lignes des cpures, selon leur objet.
37. Sacranr représenter un point, une droite, et un plan quelconques, les premières questions qui se présentent à l’esprit, sont celles qui ont pour objet la construction des points, des lignes, et des angles, que les grandeurs décrites déterminent ayec les plans de projection qui servent à les décrire.
D’après cela, nous allons procéder à l’examen et à la résolution, de ces
questions , en nous occupant d’abord du gt ensuite de la ligne droite, et enfin du plan.
Soit MN la ligne de terre de deux plans rectangulaires de projection. La partie antérieure du plan horizontal sera en-decà de MN, et la partie supérieure du plan vertical sera au-delà. Les parties postérieure du plan horizontal, et inférieure du plan vertical, seront d’ailleurs Été comme on l'a préçédemment indiqué (30).
38. Cela posé, considérons un point (P,P’) rapporté à ces deux plans par les projections P et P’. Ce point sera situé dans la verticale qui passe par la projection horizontale P, à une hauteur au-dessus du plan horizontal égale à pl’ (14); ou, ce qui revient au même, il sera dans l'horizontale qui passe par le point P”, en-decà du plan vertical de la longueur pP. C'est-à-dire que ce point sera dans le plan (Pp, pP'), en avant du plan vertical de la longueur pP, et au-dessus du plan horizontal de la longueur pP’.
Si le point donné avait sa projection horizontale en Q, sur la partie antérieure du plan horizontal, et:sa projection verticale en Q', sur la partie inférieure du plan vertical, il serait en avant du plan vertical de la longueur qQ, et au-dessous du plan horizontal de la longueur qQ.
S'il avait sa projection horizontale en R, sur la partie postérieure du plan horizontal , et sa projection verticale en R’, il serait en arrière du plan vertical de la longueur rR, et au-dessus du plan horizontal de la grandeur 7R’.
Enfin, si le point donné avait sa projection horizontale en S, sur Ja partie postérieure du plan horizontal, etsa projection verticale en S’, sur la partie inférieure du plan vertical, il serait en arrière du plan vertical de la longueur sS, et au-dessous du plan horizontal de la hauteur sS’.
Quelle que soit donc la disposition des deux projections d’un point (P,P’, sur une ligne PP" perpendiculaire à la ligne de terre, il suffira qu’on sache que le point P est la projection horizontale, et le point P’ la projection verticale , pour qu’on connaisse la situation de ce point dans l’un des quatre angles des deux plans de projection. Dans tous les cas, la distance de ce point au plan horizontal est la perpendiculaire pP', abaissée de la projection verticale P” sur la ligne de terre MN; et sa distance au plan vertical est la perpendiculaire pP, abaissée de sa projection horizontale P sur Îa même ligne MN. | |
39. Or, il n’y a pas d'autre question remarquable à proposer entre un point (P, P') et les plans de projection, que celles que l’on vient de résoudre, et qui consistent à trouver ses distances à ces plans et sa position
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Fig. 1°
entre eux. Considérons donc maintenant uneligne droite située comme on voudra par rapport aux plans de projection. Il y aura trois questions principales à résoudre sur cette droite : 1°. érouver les points où elle perce les Fa plans de projection , c'est-à-dire ses traces horizontale et verticale; . trouver ses angles’avec ces plans ; 3°. enfin, trouver la distance; mesurée sur elle-méme, d’une de ses traces à l'autre. hr
40. Pour résoudre la première, prenons une droite quelconque (PQr Q ), et Cherchons d’abord sa trace horizontale.
D'après ce qu'on a vu précédemment (24), les traces Horieéateie se projettent verticalement sur la ligne de terre; donc le point où la droite (PQ, P'Q) perce le plan horizontal, a sa projection verticale sur MN. Mais cette projection est aussi sur P'Q'; donc elle est à l’intersection A" de-la projection verticale de la droite donnée et de MN. On sait aussi que les deux projections d’un point sont sur une même droite perpendiculaire à la ligne de terre (12); doncsi l'on élève par le point A’ la droite AA, à angle droit sur MN, elle contiendra la projection horizontale de la trace‘horizontale cherchée, c’est-à-dire cette trace elle-même. Et comme cette projection doit se trouver sur AB, elle sera nécessairement-en À, et la trace cherchée sera le point (A, A). ou pour le nommer plus simplement, le point A.
Ce point divise la droite donnée en deux parties : l’une, dont les points se projettent verticalement sur A'Q' au-dessus de la ligne de terre, est évidemment située au-dessus du plan horizontal; et l’autre, dont les points se projettent verticalement sur AD, au-dessous de MN, est évidemment au-dessous du plan horizontal. |
Pour avoir l'intersection de la droite donnée et du plan PRET on prolongera jusqu'à la ligne de terre la projection horizontale PQ decette droite; par le point B où PQ et MN se rencontreront, on élèvera une droite BB’ perpendiculaire à MN ; elle coupera en B' la projection PQ, et le point (B, B') de (PQ, PQ"), sera le point cherché : car sa projection horizontale B étant sur la ligne de terre, il sera nécessairement dans le plan vertical.
Si, au lieu de la droite que l’on vient de prendre pour exemple ; on
se donnait la droite (AB, A’B) ; il est évident qu’elle percerait le plan horizontal en (m, m'), c’est-à-dire sur la par tie postérieure -de ce po et le plan vertical en (A, A. |
41. Nous ferons observer en passant que les constructions que! fon vient d'indiquer pour avoir la trace verticale d’une droite, sont absolument
analogues à celles qu’il faut faire pour avoir sa trace horizontale. Cela doit être ainsi, car les deux plans de projection étant établis de la même manière sur le dessin, et la droite donnée étant projetée aussi de la même manière sur chacun de ces plans, il n’y a pas de raison pour que les opérations à faire pour avoir la trace horizontale, diffèrent de celles qu'il faut faire pour avoir la trace verticale.
Cette similitude de constructions est remarquable , et il est évident qu’elle doit se trouver toutes les fois que les données d’une question sont exprimées de la même manière sur les deux plans de projection. Le problème qui suit va en donner un second exemple.
42. On demande les. angles d'une droite donnée (AB, A’B), avec les plans de projection. Occupons-nous d’abord de l’angle de cette droite avec le plan horizontal. On remarquera que cet angle est celui de la droite ellemême avec sa projection AB; d'où il-suit que si l’on fait tourner autour de AB le plan projetant de la droite donnée , lequel est perpendiculaire au plan horizontal , pour l’abatire sur ce dernier plan, le rabattement de la droite (AB, A'B”) fera l'angle cherché avec la ligne AB. D’après cela, il ne s'agit plus que d'obtenir ce rabättement. Or, comme c'est une ligne droite, il suffira d’avoir deux points de cette droite pour pouvoir le construire. Cherchons done le rabattement des deux points quelconques (B, B') et (D, D”) de (AB, AP). Il est clair que dans le mouvement que prendra le plan projetant pour se rabatire, le point (B, B’) décrira un cercle vertical dont le centre sera en B, dont le plan DB sera perpendiculaire à la charnière AB, et dont le rayon sera la hauteur d'B’ du point générateur (B, B’) au-dessus du plan horizontal; donc ce point viendra s’abattre en b sur la ligne 8B, à une distance de AB égale à D'B’. On construira pareillement Je rabattement de (D, D’); pour cela, on portera d'D’ de D en d sur la droite Dd, perpendiculaire à AD, et le point d sera ce rabattement. Menant donc par les points b et d'une droite indéfinie, l'angle bmB , qu'elle formera avec la droite AB, sera l'angle cherché.
On obtiendra, par des opérations analogues , faites sur la projection A'B', l'angle de la même droite (AB, A'B") avec le plan vertical.
43. S'il s'agit d’avoir la longueur de la portion de (AB, AB’) qui est comprise entre les plans de projection , il faudra d’abord chercher les points où cette droite et ces plans se rencontrent, et l’on n'aura plus à construire que la longueur de la droite qui joindra ces points. Or, cette
Fig. 3
question peut être généralisée et posée aïusi : Z'rouver la longueur d'une
